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桂林中学2012-2013学年度下学期三月月考考试 高二文科数学试题 时间 120分钟, 满分150分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题, 共60分) 一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.交于一点的三条直线可以确定平面的个数是 （ ） A.三个 B.两个 C.一个或两个 D.一个或三个 2．异面直线a,b分别在平面α、β内,α∩β=l ,则l与a、b的位置关系是 ( ) A. 与a,b均相交 B. 至少与a,b中一条相交 C.与a,b均不相交 D. 至多与a,b中一条相交 3. 设m，n表示不同的直线，表示不同的平面，且。则“”是“”的 （ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4. 设是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题 ①； ②；Ks5u ③； ④； 其中正确的命题是（ ） Ａ．①④； Ｂ．②③； Ｃ．①③； Ｄ．②④； 5. 过三棱锥高的中点与底面平行的平面把这个三棱锥分为两部分，则这上、下两部分体积之比为 ( ) A.1∶7 B.1∶4 C.2∶3 D.1∶8 6.在北纬的纬度圈上有A,B两地,A在东经,B在东经,设地球半径为R,则A,B两地的球面距离是 ( ) A. B. C. D. 7. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A． B． C． D． 8. 二面角为，A,B是棱上的两点，AC,BD分别在半平面内，且，则的长为（ ） A． B． C． D． 9.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( ) A. B . C. D. 10.在斜三棱柱ABC—中，∠BAC=90°，B⊥AC，则在底面ABC上的射影H必在（ ） A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 11.设OA,OB,OC为不共面的三条射线,若, 点P为射线OA上一点,设OP=a,则点P到平面OBC的距离为 ( ) A. B. C. D. 12. 已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，A到A′点.给出下列判断：①A′C⊥BD；②A′D⊥CO；③△A′OC为正三角形；④cos∠A′DC＝；⑤A′到平面BCD的距离为.其中正确判断的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5
第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分） 13. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为4，5，，则此球的表面积为 ． 14. 正方体的棱长为2,则以各面的中心为顶点的凸多面体的体积是_____ 15. 正三棱锥中一条侧棱与底面所成的角为60°，则一个侧面与底面所成的角正弦值为______ 16.多面体ABC—DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则这个多面体的体积______ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本小题共10分）在体积为4π的球的表面上有A，B，C三点，AB＝1，BC＝，A，C两点的球面距离为π，求球心到平面ABC的距离. 18.（本小题共 12 分）在直三棱柱ABC-中，AB=8，AC=6，BC=10，D是BC边的中点. (1)求证：AB⊥; (2)求证：∥平面. 19．（本小题共 12 分）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．是的中点．（1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的正切值． 20.（本小题共 12 分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点． （1）证明：平面PMB平面PAD；（2）求点A到平面PMB的距离． 21. （本小题共 12 分）已知长方体ABCD-中，棱AB＝BC＝3，＝4，连结，过B点作的垂线交于E，交于F． （1）求证：⊥平面EBD； （2）求ED与平面所成角的正弦值； （3）求二面角E-BD-C的正切值．
22. （本小题共 12 分）正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。 （1）求侧面与底面所成二面角的大小； （2）在棱PD上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。 桂林中学2012-2013学年度下学期 高二文科数学答题卷 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B A C A C C A C A B C 二、填空题： 13、 ____ 14、 _______ 15、 ___ 16、 4 ___ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 解：设球的半径为R，则V＝πR3＝4π，∴R＝………３分 设A，C两点对球心的张角为θ，则A、C的球面距离为Rθ＝θ＝π，∴θ＝，∴AC＝，∴AC为△ABC所在平面的小圆的直径，∴∠ABC＝90°……….7分 设△ABC所在平面的小圆圆心为O′，则球心到平面ABC的距离为d＝OO′＝＝＝…..１0分 18. （本小题共 12 分） 证：（1）直三棱柱,底面三边长AB=8,AC=6,BC=10,∴AC⊥AB, 又⊥平面ABC，∴⊥AB, ∩AC=A,∴AB⊥平面,∴AB⊥. (2)设与的交点为E，连接DE，∵D是BC的中点，E是的中点， ∴DE∥,∵DE平面ADB1，平面， ∴∥平面 19．（本小题满分12分） 解:（I）由题意，，， 是二面角是直二面角， ，又， 平面，又平面． 平面平面．….6分 （II）作，垂足为，连结，则， 是异面直线与所成的角． 在中，，， ．又． 在中，． 异面直线与所成角的正切值为 ．….12 20．（本小题共 12 分） 解： （1）,又因为底面ABCD是、边长为的菱形，且M为AD中点，所以.又所以. ……6分 （2）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.过点D作于H，由（1）平面PMB平面PAD，所以. 故DH是点D到平面PMB的距离. 所以点A到平面PMB的距离为.………12分 21. （本小题共 12 分） 解：（Ⅰ）连结AC交BD于O，则AC⊥BD． 又 ∵ ⊥平面AC， ∴ ⊥BD． ∵ ⊥BE而⊥平面， ∴ ⊥BE． ∵ BD BE＝B， ∴ ⊥平面BED． ………4分 （Ⅱ）连结，由∥CD知D在平面内，由（1）是⊥EB． 又∵ ⊥BE， ∴ BE⊥平面，即得F为垂足． 连结DF，则∠EDF为ED与平面所成的角． 由已知AB＝BC＝3，＝4，可求是＝5，．Ks5u ∴ ，，则，． ∴ ． 在Rt△EDF中，， ∴ ED与平面所成角的正弦值为． …Ks5u…8分 （Ⅲ）连结EO，由EC⊥平面BDC且AC⊥BD知EO⊥BD．∴ ∠EOC为所求二面角E-BD-C的平面角．∵ ，， ∴ 在Rt△EOC中，． ∴ 二面角E-BD-C的正切值为． Ks5u…12分 22. （本小题共 12 分） 解：（1）连交于点，连PO，则PO⊥面ABCD，∴ ∠PAO就是与底面所成的角，∴ tan∠PAO=。设AB=1，则PO=AO?tan∠PAO = 。 设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中，， ∴ ,即面与底面所成二面角的大小为……6分 （2）延长交于点，连接。设为中点，连接。 ∵ 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点， ∴ ，。 ∴ 。∴ 面⊥。 ∵ ，，∴ 为正三角形。 ∴ ，∴ 。 取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。∴……12分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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