东莞市第七高级中学2012-2013学年高二3月月考数学理试题

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．

1. 函数
在闭区间
内的平均变化率为

A.
B.
C.
D.

2．用反证法证明命题：“
,
,
,且
,则
中至少有一个负数”时的假设为

A．
中至少有一个正数 B．
全为正数

C．
全都大于等于0 D．
中至多有一个负数

3. 函数
的图象上一点
处的切线的斜率为

A．1 B．
C．
D．

4. 已知函数
, 则
等于

A．
B．
C．
D．

5. 各项都为正数的数列
中，
猜想数列
的通项

A．
B.
C.
D．

6. 函数
的单调递增区间是

A.
B.
C．
D.

7. 已知函数f (x)的导函数
的图象如右图所示，

那么函数f (x)的图象最有可能的是

8. 函数
的最大值是

A．1 B．
C．0 D．-1

9. 由直线
，曲线
及
轴所围图形的面积为

A．3 B．7 C．
D．

10. 设平面内有
条直线（
），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用
表示这
条直线交点的个数，
=

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

11. 计算
=

12. 一物体沿直线以速度
（
的单位为:秒,
的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻
秒至时刻
秒间运动的路程

13.函数
在区间
上的最大值是

14. 在
中，两直角边分别为
、
，设
为斜边上的高，则
，由此类比：三棱锥
中的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度分别为
、
、
，设棱锥底面
上的高为
，则　　　　　　　　　　　　．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

15.（本题满分12分）

计算由曲线
，直线
以及两坐标轴所围成的图形的面积S.

16.（本题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值和最小值.

17．（本小题满分12分）

若

18. （本小题满分14分）

一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？

19. （本小题满分14分）

（1）已知等差数列
，
（
），求证：
仍为等差数列；

（2）已知等比数列

），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．

20．（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）设
时，求函数
极大值和极小值;

（2）
时讨论函数
的单调区间.

高二年级理科数学答题卷

一、选择题（本大题10小题，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



D

C

D

D

A

A

A

A

C

A



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11、

12、4

13、

14、

15．（本小题满分12分）

解：解：如图，由
与直线x+y=3在点(1，2)相交, ……………2分

直线x+y=3与x轴交于点(3，0) ……………3分

所以,所求围成的图形的面积
，其中被积函数f(x)
………6分

……11分

所以,所求围成的图形的面积为10/3……………………12分

16．（本小题满分14分）

解：(1)
. ------------------------------------------------- 2分

令
, ------------------------------------------------4分

解此不等式，得
.

因此，函数
的单调增区间为
.------------------6分

(2) 令
,得
或
.----------------------------------------8分

当
变化时，
，
变化状态如下表：

-2



-1



1



2







+

0

-

0

+







-1



11



-1



11



 -------------------------------------------12分

从表中可以看出，当
时，函数
取得最小值
.

当
时，函数
取得最大值11.-----------------------------14分

18．（本小题满分14分）

解: 设轮船的速度为x千米/小时（x>0），…………1分

则航行1公里的时间为
小时。

依题意，设与速度有关的每小时燃料费用为
，…………2分

……………………4分

…6分

……………………10分

（0,20 ）

20







—

0

+



y

单调递减

极小值

单调递增





……………………13分

答：轮船的速度应定为每小时20公里，行驶1公里所需的费用总和最小。

………………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

证明：（1）
，……………2分

，…………4分

为等差数列
为常数，…………6分

所以
仍为等差数列；………7分

（2）类比命题：若
为等比数列，
（
），
，则
为等比数列

………9分

证明：
，………11分

为常数，………13分

为等比数列………14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）
…………1分

=

3

=
=
，………2分

令
=0，则
=
或
=2 ……3分

（

，
）



（
，2）

2

（2，+
）





+

0



0

+







极大



极小






，
……4分

（2）
=

（1+2
）+
=
=

令
=0，则
=
或
=2
……………………5分

i、当2
>
,即
>
时，

（

，
）



（
，2
）

2

（2
，+
）





+

0



0

+

















所以
的增区间为（

，
）和（2
，+
），减区间为（
，2
）……………6分

ii、当2
=
,即
=
时，
=

0在（
，+
）上恒成立，

所以
的增区间为（
，+
）………………7分

iii、当

<2
<
,即

<
<
时，

（

，2
）

2

（2
，
）



（
，+
）





+

0



0

+

















所以
的增区间为（

，2
）和（
，+
），减区间为（2
，
）……………10分

iv、当2



,即



时，

（

，
）



（
，+
）