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2012学年度下学期第一次段考高二级文科数学试题 命题人：黄泳如 参考公式：线性回归系数 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．双曲线的渐近线方程为( ) A．3x±4y=0 B． 4x±3y=0 C． 3x±5y=0 D．5x±3y=0 2 抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A． B． C． D． 3.函数lnx的单调递减区间是 （ ） A.() B. () C （） D （0，e） 4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极值点 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 5．对100只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表 由 附表： 则下列说法正确的是( ) A．在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别有关”； B．．在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别无关”； C．有以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”； D．有以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”； 6.对于上的任意函数，若满足，则必有 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是( ) A．由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心(，) B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高； 8. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图像是（ ）
A B C D 9．函数y=f(x) 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如 图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在 （ ） A．第I象限 B．第II象限 C．第Ⅲ象限 D．第IV象限 10. 已知点P在曲线y＝x3－x上移动，在点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围是( ) A．[0，] B．[，π) C．[0，)∪[，π) D．[0，)∪[，π) 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．） 11.函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________． 12如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________. 13. 曲线上的点到直线的最短距离是______________ 14.求曲线过原点的切线方程 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．） 15．（12分）某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据. (1)画出表中数据的散点图； (2)求出y对x的线性回归方程； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？() 16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间、极值点，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值． 17．（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）. （I）求椭圆G的方程； （II）求的面积. 18. （本题满分14分）某园林公司计划在一块为圆心,(为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元. （1）设, ,用表示弓形的面积; （2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的 (参考公式:扇形面积公式，表示扇形的弧长) 19. （本题满分14分）已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R； (1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围； (2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 20. （本题满分14分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明： 2012学年度下学期第一次段考高二级文科数学答卷 座位号： 一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题 11． 、12． 、13． 、14． 。 三、解答题 15．（12分） 16．（12分） 17．（14分） 18.（14分） 19.（14分） 20.（14分） 2012学年度下学期第一次段考高二级文科数学答案 一：选择题 C C D C C D C B A C 二：填空题 11. (－∞，－1)∪(1，＋∞) 12. 2 13. 14. ， 三：解答题
15.（12分） (1)散点图如图： 散点图2分 (2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算、.于是，，代入公式得： 4分 ， 8分 9分 故y与x的线性回归方程为，其中回归系数为， 10分 它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加万元. (3)当x=9万元时，(万元). 12分 16.（12分） (1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1， 1分 ∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2， 2分 ∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝－a＋a2－1＋b， 3分 又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0， 解得a＝1，b＝. 4分 (2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x， 5分 、、的变化情况表： 表 7分 x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点， （ 8分） 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)． （9分） ∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8， (11分) ∴在区间[－2,4]上的最大值为8. 12分 （17）（14分）解：（Ⅰ）由已知得解得，又 所以椭圆G的方程为 （3分） （Ⅱ）设直线l的方程为 （ 4分） 由得 5分 设A、B的坐标分别为AB中点为E， 则；（7分） 因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。 （10分） 此时方程①为解得所以 （11分） 所以|AB|=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离 （12分） （13分） 所以△PAB的面积S= （14分） 18. （14分）解：（1），, . ……………3分 (2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为 ，，, . ………8分 设 . 上为减函数； 上为增函数. ……………12分 当时，取到最小值,此时总利润最大. 答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大. ……………14分 19. f′(x)＝2x＋a－＝≤0在[1,2]上恒成立 （1分） 令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立 (2分) ∴得，∴a≤－. （5分） (2)假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3 g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝ （6分） ①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减 ∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去) (8分) ②当0< ∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增 ∴g(x)min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e2满足条件 （11分） ③当≥e即0 g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3 ∴a＝>(舍去) （13分） 综上所述，存在a＝e2使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3. （14分） 20.（14分）解：（1）求函数的导数；．(1分) 曲线在点处的切线方程为： ， （2分） 即 ． （4分） （2）如果有一条切线过点，则存在，使 ． （5分） 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根．（6分） 记 ，则 ． （（7分） 当变化时，变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 （表10分）（画草图11分）由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根． 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 （13分） 即 ． （14分） | ||||||||||||||||||||||||||||||
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