泗县二中2012―2013学年上学期高二年级期末测试

数学试卷

（考试时间　120分钟，　满分　150分）

选择题（本大题共10小题
，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要
求的。）

1．已知直线
平行于直线
，且在y轴上的截距为1，则
的值分别为(C)

A. 1和2 B. -1和2 C. 1和-2 D. -1和-2

2．设
则以下不等式中不恒成立的是(B)

A．
B．

C．
D．

3．直线
与圆
的位置关系是(B)

A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离

4．在平面直角坐标系中，不等式组
表示的平面区域的面积是(B)

5. 设
，
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列四种说法： ①若
，
，则
; ②若
，
，则
; ③若
，
，则
; ④若
，
，
，则
。

其中正确说法的个数为( B)

A．1 B．2 C．3 D．4

A．
B．4 C .
D．2

6．已知函数
,则
的值域是(C)

A．

B．
C．
D．

7. 平面
与平面
平行的条件可以是(B)

A.
内有无穷多条直线与
平行；

B.
内的任何直线都与
平行

C. 直线

,直线

,且
∥
,
∥

D. 直线
∥
,直线
∥

8．有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为(A)

A．4+
B．4+
C．4+
D．4+

9. 若方程
表示圆，则
的取值范围为 ( A)

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，
，若对于任一实数
，
与
的值至少有一个为正数，则实数
的取值范围是( B )

A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 已知直线
∥平面
，平面
∥平面
，则直线
与
的位置关系为 (平行或在平面内)

12．已知数列
是非零等差数列，又

组成一个等比数列的前三项，
则
的值是 1或
。

13．已知两圆
和
相交于
，
两点，则直线
的方程是 (
)

14．已知两条直线
:y=m 和
:y=
(m>0),直线
与函数
的图像从左至右相交于点A,B , 直线
与函数
的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a 和b 。当m 变化时，
的最小值为

15．有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.

其中错误说法的序号是 ( ①，②，③)

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16.

在
轴的正半轴上求一点
，使以
，
及点
为顶点的

的面积为5.

答案：解：设点
的坐标为

，点
到直线
的距离为
.（2分）

由已知，得
(4分)

解得
(6分)

由已知易得，直线
的方程为
（8分）

所以
(10分)

解得
，或
(舍去)(14分)

所以点
的坐标为
.(15分)

17.已知双曲线与椭圆
＋
＝1共焦点，它们的离心率之和为
，求双曲线方程.

本题答案如下：

18.

已知圆
：
，若圆
的切线在
轴和
轴上截距相等，求切线的方程.

答案：解：圆
的标准方程为
（1分）

∴圆心
，半径
（2分）

设圆
的切线在
轴和
轴上的截距分别为
，
，（3分）

当
时，切线方程可设为
，即
，（4分）

由点到直线的距离公式得：
，解得
（6分）

所以切线的方程是：
（7分）

当
时，切线方程为
，即
，（8分）

由点到直线的距离公式得：
，

解得
（12）

所以，切线的方程为
（14分）

综上，所求切线方程为
或
.（15分）

19.

如图，在△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD， E、F分别是AC、AD上的动点，且
.

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

(2)若BE⊥AC，求证：平面BEF⊥平面ACD.

答案：证明：(1)∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，（1分）

∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.（4分）

又
，

∴不论λ为何值，恒有EF//CD，（5分）

∴EF⊥平面ABC，又EF在平面BEF内,（7分）

∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.（8分）

(2)：由(1)知EF⊥平面ABC， ∴BE⊥EF，（10分）

又∵BE⊥AC且EF∩AC=E，∴BE⊥平面ACD，（13分）

又BE在平面BEF内, ∴平面BEF⊥平面ACD. （15分）

20.已知函数f(x)＝x3－3ax－1,a≠0.

(1)求f(x)的单调区间;

若f(x)在x＝－1处取得极值,直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.

本题答案如下：

由f′(x)＜0,解得
.

∴当a＞0时,f(x)的单调增区间为
,

;f(x)的单调减区间为
.

由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1,在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.

∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点,

21.如图,AB为抛物线y＝x2上的动弦,且|AB|＝a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最短距离.

答案:设A、M、B三点的纵坐标分别为y1、y2、y3,如图
,A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′.

F为抛物线的焦点.连结AA′,MM′,BB′,AF,BF.