许昌市高二下学期第一次五校联考

理 科 数 学

考试时间：3月30日下午14：30—
—16：30

命题学校：许昌县三高 命题人：张亚争

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

“
”是“方程
表示双曲线”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

已知函数
，则

( )

A．-1 B．-3 C.2 D．-2

直线
与曲线
相切于点
，则
的值为 ( )

A． 5 B． 6 C． 4 D． 9

下列命题中真命题是 （ ）

①

②命题“
”的否定是“
”

③“若
”的逆否命题是真命题

④若命题
。命题
。

则命题
是真命题。

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

和
的图象画在同一个坐标系中，不可能正确的是（ ）

[来源:学科网]

A． B． C． D．

已知
，若向量
共面，

则
（ ）

A．
B．
C．
D．

（ ）

A．
B.
C.
D.

在三棱锥
中，
，
是等腰直角三角形，
，
为
中点. 则
与平面
所成的角等于（ ）

A．

B.
C.
D.

已知点
是抛物线
的焦点，
是抛物线上的两点，
，则线段
的中点到
轴的距离为 （ ）

A.
B.
C.
D.

函数
恰有两个不同的零点，则
可以是（ ）

A．3 B.4 C.6 D.7

设动直线
与函数
的图象分别交于点
。则
的最小值为 （ ）

A．
B.
C.
D.

已知
为定义在
上的可导函数，且
对于
恒成立，且
为自然对数的底，则 （ ）

A.

B.

C.

D.

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）

函数
单调递减区间是

已知双曲线
的左右顶点分别是
，点
是双曲线上异于点
的任意一点。若直线
的斜率之积等于2，则该双曲线的离心率等于

定积分
的值是

下列命题中假命题的序号是

①
是函数
的极值点；

②函数
有极值的必要不充分条件是

③奇函数
在区间
上
是单调减函数.

④若双曲线的渐近线方程为
，则其离心率为2.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内）

（本小题10分）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容
积最大？最大容积是多少？

[来源:Zxxk.Com]

（本小题12分）求由抛物线
与它在点
和点
的切线所围成的区域的面积。

（本小题12分）如图，三棱柱
的所有棱长都为2，
为
中点,
平面

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值；

（3）求点
到平面
的距离.

（本小题12分）已知函数

（1）若
在
上是增函数，求实数
的取值范围；

（2）若
是
的极值点，求
在
上的最小值和最大值．

（本小题12分）已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）设
，对任意的
，总存在
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围。

（本小题12分）已知椭圆
的右焦点为
，
离心率为
。

（1）若
，求椭圆的方程。

（2）设直线
与椭圆相交于
两点，
分别为线段
的中点。若坐标原点
在以线段
为直径的圆上，且
，求
的取值范围。

2013年许昌市高二第一次五校联考

理科数学答案

1-4：CDDA 5-8：DDBB 9-12：CBCA

13.
14.
15.
16.①②

1
7.【解析】设箱底边长为

，
则无盖的方底箱子的高

，其体积为
，

则

，

令
，得
，解得
（
舍去）

当
时，
；当
时，
.

所以函数
在
时取得极大值，

结合实际情况，这个极大值就是函数
的最大值.
，

故当箱底边长为
时，箱子容积最大，最大容积是
.

18.【解析】

19.【解析】（1）取
中点
，连结
．

为正三角形，
．

在正三棱柱
中， 平面
平面
，

平面
．

取
中点
，以
为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立直角坐标系，则
，
，
，
，
，



，
，
．

，
，

，
．
平面
．

（2）设平面
的法向量为
．

，
．
，
，

令
得
[来源:学科网]

由（1）知
平面
，
为平面
的法向量．

二面角
的余弦值为
．

（3）由（2），
为平面
法向量，

．

点
到平面
的距离
．

20.【解析】(1)
.

所以，
时，
恒成立，即
恒成立 ……………3
分

记
，

当
时，t(x)是增函数，∴
………………5分

故
. ………………6分

(2)由题意，得
＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4，………………7分

∴f(x)＝x3－4x2－3x，
＝3x2－8x－3.

令
＝0，得x
1＝－
，x2＝3. ………………8分

当
变化时，
、
的变化情况如下表：

1

(1，3)

3

(3，4)

4







－

0

＋







-6



极小值



-12



∴当
时，

是增函数；当
时，
是减函数．

于是，
有极小值f(3)＝－18； ………………10分

而f(1)＝－6，f(4)＝－12，

∴f(x)max＝f(1)＝－6，f(x)min＝－18. ………………12分

[来源:Zxxk.Com]

21.（1）
.

令
，得
，因此函数
的单调递增区间是
.

令
，得
，因此函数
的单调递减区间是
.…………（4分）

（2）依题意，
.

由（1）知，
在
上是增函数，
.

，即
对于任意的
恒成立.

解得
.

所以，
的取值范围是
. …………………………（8分）

22.解：（1）由题意知
，

得

所以椭圆方程为
------4分

（2）由已知得
，设点

联立
得

则
-------6分

由题意可知
，

得
，即

所以

即
， 得
，

即

又
得
，所以
，

[来源:学科网]

所以
，得
或

所以
的取值范围是
---------12分