日照第一中学2016届高三下学期教学质量检测（八）

数学（理）试题

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.为考察某种药物预防疾病的效果，对
只某种动物进行试验,得到如下的列联表:

患病

未患病

总计



服用药

10

40

50



没服用药

20

30

50



总计

30

70

100



 经计算，统计量
的观测值
，则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为药物有效. 已知独立性检验中统计量
的临界值参考表为：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



A.
B.
C.
D.

3.已知复数
R)，
，若
为纯虚数，则

A.
B.2 C.
D.

4.已知
为实数，则
是关于
的绝对值不等式
有解的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

6.若随机变量
～
，则有如下结论：
，

，

.

某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为
，标准差为
，理论上说在
分到
分的人数约为

A.
B.
C.
D.

7.设函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
单调递减，若数列
是等差数列，且
，则
的值

A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负

8.若
表示不超过
的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的
的值为

A.
B.
C.
D.

9.已知
设实数
满足

则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.已知定义域为
的单调函数
满足：

，
，

则函数
的零点的个数为

A.
B.
C.
D.

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知向量
，
，若向量
，则实数
的值为 .12.已知函数
的值域为
，则实数
的取值集合为 ．

13.已知双曲线


的渐近线与圆
相交，则双曲线
的离心率
的取值范围是 ．

14.有
本不同的书，其中语文书
本，数学书
本，物理书
本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书均不相邻的摆法有 种. （用数字作答）

15.关于函数
，下列命题：

①存在
，
，当
时，
成立；

②
在区间
上是单调递增；

③函数
的图象关于点
成中心对称；

④将函数
的图象向左平移
个单位后将与
的图象重合；

其中正确的命题序号为 .

三.解答题：本大题共6小题，共75分.

16．（本小题满分12分）

在锐角
中，
.

(I)求角
的大小;

(II)若
，当
取得最大值时，求
和
.

17.（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
底面
，

，
，
，

为线段
的靠近点
的一个四等分点，
.

(I)求棱
的长；

(II)求平面
与平面
所成的角（锐角）的余弦值.

18.（本小题满分12分）

质点
从如图放置的正方形
的顶点
出发，根据掷骰子的情况，按照以下的规则在顶点间来回移动：如果朝上数字大于等于
，向平行于
边的方向移动；如果朝上数字小于等于
，向平行于
边的方向移动．记掷骰子
次后质点
回到
点的概率为
，回到
点的概率为
.

(I)求
的值；

(II)当
时，设
表示质点
到达
点的次数，求
的分布列和期望；

(III)当
时，试比较
的大小（只需写出结论）.

19.（本小题满分12分）

已知等差数列
的前n项和为
，且
.数列
的前n项和为
，且
. 中学联盟网

(I)求数列
、
的通项公式；

(II)设
，求数列
的前n项和.

20.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.

(I)求椭圆C的方程． 山东中学联盟

(II)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

　①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出
的值；

　②求△OMN面积的最大值．

21.（本小题满分14分）

已知函数
＝
，
＝
．

(I)求函数
的单调区间;

(II)若函数
在区间
上是减函数，求实数a的最小值；

(III)若存在
，

，（e＝2．71828……是自然对数的底数）使
≤
+a，

求实数a的取值范围．

2013级高三下学期教学质量诊断性检测（八）

数学试题(理科)参考答案

一、选择题：

ABABD DBCAC

二、填空题：

11.
12.
13.
14.
15. ①③

三、解答题：

17.解：（I）解法1：因为
底面
，
底面
，

所以
.又
，
，

所以
平面
.

又
平面
，所以
. ……………2分

又因为
，
，

所以
平面
.所以
. …………4分

在四边形
中，连接

在等腰△
中，由余弦定理，

由平面几何知识，易知△
为等边三角形. 所以

设
，在
△
中，
，

，

从而
.

在
△
中，由射影定理得
，即
.

解得
，即棱
的长为
.……………………………………………………6分

解法2：以
所在方向分别为
轴、
轴的正方向，

建立空间直角坐标系
.因为
，

，
，

所以△

△
.又因为
，

所以
.

所以
. ………………2分

所以
,
,
.

设
，则
.

所以
，
.

从而

. ………………4分

又因为
，且
.

所以
，解得
.所以棱
的长为
.………………………6分

（II）设平面
的一个法向量为
，

平面
的一个法向量为

由
,
,
,
，

得
,
,
.

由
得

取
，得
，
.所以
.…………………………………8分

由
得
取
，得
，
.

所以
.………………………………………………………………10分

.

所以，平面
与平面
所成的角（锐角）的余弦值为
.…………………12分

18.

20.解：(I)由题意知，＝，可得a2＝4b2.

椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.

将y＝x代入可得x＝±.

因此×＝，即a＝2，所以b＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1. ……………3分

(II)①设A(x1，y1)(x1