2016年高三模拟考试

理科数学

2016．03

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2，第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.集合
，集合
，则

A.
B.
C.
D.

2.已知复数z满足
为虚数单位，则z的共轭复数
为

A.
B.
C.
D.

3.已知平面向量
，则实数m的值为

A.
B.
C.
D.

4.设曲线
上任一点
处切线斜率为
，则函数
的部分图象可以为

5.“
”是“函数
在区间
内单调递减”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.将函数
图象向左平移
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是

A.
B.
C.
D.

7.执行如图所示的程序框图，输出的i为

A.4 B.5 C.6 D.7

8.已知抛物线
的准线与双曲线
相交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，
为直角三角形，则双曲线的离心率为

A.3 B.2 C.
D.

9.若实数
满足
，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

10.若实数
满足
，则
的最小值为

A.
B.8 C.
D.2

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
的展开式中，含
次数最高的项的系数是_________（用数字作答）.

12.设
满足约束条件
当
时，目标函数
的最大值的取值范围是________.

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为_______.

14.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为
，所以36的所有正约数之和为
，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.

15.在锐角
中，已知
，则
的取值范围是______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

在
中，角A,B,C的对边分别为
，且满足
.

（I）求角C的值；

（II）若三边
满足
，求
的面积.

17. （本小题满分12分）

为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况.从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如下：

根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良.

（I）将频率视为概率.根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（II）从抽取的12人中随机选取3人，记
表示成绩“优良”的人数，求
的分布列及期望.

18. （本小题满分12分）

在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，D是
的中点，BD与
交于点O，且
平面
.

（I）证明：
；

（II）若
，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.

19. （本小题满分12分）

已知数列
前n项和
满足：
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
，数列
的前n项和为
，求证：
.

20. （本小题满分13分）

已知函数
.

（I）记函数
，求函数
的最大值；

（II）记函数
若对任意实数k，总存在实数
，使得
成立，求实数s的取值集合.

21. （本小题满分14分）

已知椭圆
的上顶点M与左、右焦点
构成三角形
面积为
，又椭圆C的离心率为
.

（I）求椭圆C的方程；

（II）直线l与椭圆C交于
两点，且
，又直线
是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；

（III）椭圆C的下顶点为N，过点
的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点.若
的面积是
的面积的k倍，求k的最大值.

2016年高三模拟考试

理科数学答案 2016.03

第Ⅰ卷（共50分）

ADBCA,CCADB

1.答案A解析：由题意知
故选A.

2.答案D解析：由
，得
，
.故选D.

3.答案B 解析：
，由
，得
即

，解得
，故选：B.

4.答案C解析：由题意知
所以函数
，显然该函数为偶函数，且过
点，故选C.

5.答案A． 解析：若函数
在区间
内单调递减，则有
，即
，所以“
”是“函数
在区间
内单调递减”的充分且不必要条件，所以选A.

6.答案C 解析:
当
时,函数取最大值1,故答案C.

7.答案C 解析：开始S=0,i=1；第一次循环S=1,i=2；第二次循环S=4,i=3；第三次循环S=11,i=4；第四次循环S=26,i=5；第五次循环S=57,i=6；故输出i=6.选C.

8.答案A，

解：由题意知抛物线的准线
，代入双曲线方程得
不妨设
是等腰直角三角形，
求得
双曲线的离心率为
，故选A

9.答案D 解析：


故选D

10. 解析 ：∵实数
满足：
，

，设
，则有：
，

且
，设
，则有：
，

就是曲线
与直线
之间的最小距离的平方值，

对曲线
求导：
，易知
在
上单调递增，在
上单调递减，与
平行的切线斜率
，解得：
或
（舍），

把
代入
，得：
，即切点为
，切点到直线
的距离：
=
，

的最小值就是
．?故选：B．

第Ⅱ卷（共100分）

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
12.
; 13.
; 14.465; 15.
.

11.解析：答案-64，所求为
．

12.解析:答案
，当
时,画出可行域,当
过
和
交点
时取最大值
当
时,可行域由
围成,当
过
和
轴交点
时取最大值
即答案为

13.解析：答案
，由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面
平面
，

四棱锥
的高为1，四边形
是边长为1的正方形，

则
=
，
,

所以
=
.

14.解析：答案465．

类比
的所有正约数之和的方法有：
的所有正约数之和可按如下方法得到：因为
，所以
的所有正约数之和为
，所以
的所有正约数之和为465．

15.解析：答案
，取
的中点
,可得
=
,

长度变化的极限位置是
为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即
为直角和
为直角。做
垂直于
,此时，
，

做
垂直于
,此时
=

=
=
,

因此
，故
的取值范围是
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

（16）解：（Ⅰ）已知
可化为

， …………………………3分

整理得

，

，

又
…………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
，又

所以由余弦定理
，

，即
， …………………………9分

所以
．…………………………12分

17.解：（Ⅰ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为
，

故从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为
， ………………2分

设“在该社区老人中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A，

则
； ………………5分

（Ⅱ）由题意可得，
的可能取值为0，1，2，3．

，
，

，
，……………9分

所以
的分布列为

0

1

2

3
















． ………12分

18.解：(1)由题意
，
，

又
，
，
，

，

，
. ………………………………………………3分

又
，
，

与
交于点
，
，

又
，