北镇中学、莱芜一中、德州一中高三下学期4月联考数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将答题卡交回.

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么Ｐ（A+B）=P(A)+ P(B)；

如果事件A，B独立，那么Ｐ（AB）=P(A)·P(B).

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.定义集合
，若集合
集合
，则集合
的子集个数为( )

A．
B．3 C．4 D．无数个

【答案】C

【解析】


,所以集合
的子集个数为
个.

【考点】新定义问题、集合的运算、子集.

2.
为虚数单位，复数
的共轭复数为( )

A． 1 B．i C． -1 D．-i

【答案】A

【解析】
，所以复数
的共轭复数1.

【考点】复数四则运算及共轭复数的概念.

3．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x＋y的值为(　　)

A．168 B．169 C．8 D．9

【答案】D

【解析】由题意得，甲班学生成绩的中位数为83，则
＝83－80＝3，乙班学生成绩的平均数是86，则
?
，故x＋y＝9.

【考点】茎叶图、中位数、平均数

4. 命题
；命题
是”关于
的不等式
的解集是实数集
的充分必要条件，则下面结论正确的是（ ）

A.
是假命题 B.
是真命题

C.
是假命题 D.
是假命题

【答案】C

【解析】对于命题
，
因此命题
是真命题；

对于命题
，”关于
的不等式
的解集是实数集
的充分必要条件是
或
，即
，所以
是”关于
的不等式
的解集是实数集
的充分不必要条件，因此命题
是假命题；
是假命题；
是真命题.

【考点】充要条件，简易逻辑．

5. 已知变量
满足约束条件
若目标函数
(其中
)仅在点(1，1)处取得最大值，则
的取值范围为 (
)

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1，1)作l的平行线l′，则直线l′介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1之间，

因此，－＜－a＜0，即0＜a＜.

【考点】线性规划.

6． 设
为正数，
，则
( )

A．
B．

C．
D．

【答案】B

【解析】由
得
.

又

即
，所以
.

由不等式
成立的条件，得
，所以

【考点】基本不等式.

7. 如图是函数
在区间
上的图象，为了得到
的图象，只要将函数
的图象上所有的点(　　)

A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变

B．向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变

C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变

D．向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变

【答案】D

【解析】由图象可知A＝1，T＝－＝π，∴ω＝＝2.

∵图象过点，且在函数的单调递减区间上，

∴sin＝0，∴

∴φ＝＋2kπ，k∈Z. ∴
＝sin＝sin.

故将函数
= sin向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin x的图象．

法二：也可通过平移法求出φ的值.

【考点】三角函数的图象性质及图象变换.

8. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（ ）

A.18 B.24 C. 36 D. 72

【答案】C

【解析】由于均分8人，所以甲、乙两个部门各4人。完成这件事情分两类：第一类，甲部门有两名电脑编程人员，有
种不同的分配方案；第二类，甲部门有一名电脑编程人员，有
种不同的分配方案。故共有36种不同的分配方案.选C

【考点】排列组合.

9. 如图，菱形
的边长为2，
,
为
的中点，若
为菱形内任意一点（含边界），则
的最大值为( )

A． 3 B．
C． 6 D．9

【答案】D

【解析】由平面向量的数量积的几何意义知，
等于
与
在
方向上的投影之积,所以

【考点】平面向量的数量积.

10．已知
且
，函数
设函数
的最大值为
,最小值为
,则 ( )．

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】

设
则
为奇函数，所以

所以
.

【考点】函数的奇偶性

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．执行如图所示的程序框图，则输出的
的值为 .

【答案】

【解析】

【考点】程序框图，等差数列求和.

12. 已知在正方体
中，点
是棱
的中点，则直线
与平面
所成角的正弦值为 .

【答案】

【解析】以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则
,
.

平面
，则
是平面
的一个法向量.

设直线
与平面
所成角为
，则
.

法二：几何法.

【考点】直线与平面所成的角.

13．若
，则关于
的不等式
的解集为___________

【答案】

【解析】根据绝对值的意义，
表示数轴上
的对应点到
和
的对应点的距离之和，故最小值为
，所以对
满足
故关于
的不等式
的解集为
.

【考点】绝对值不等式

14．椭圆
的右焦点为
，双曲线
的一条渐近线与椭圆
交于
两点，且
，则椭圆
的离心率为 ____________.

【答案】

【解析】不妨设双曲线
的一条渐近线的渐近线为
，记椭圆
的左焦点为
，依题意得
四边形
为矩形，
是正三角形，
，
，椭圆
的离心率为
.

【考点】椭圆，双曲线的定义及简单几何性质.

15．对于函数
给出定义：

设
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.

某同学经过探究发现：任何一个三次函数
都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数
，请你根据上面探究结果，计算
= .

【答案】

【解析】
,
,
,得
.

,所以
的“拐点”即对称中心为
，所以
.

设
，

则
，

两式相加得
.

【考点】导数, 函数的对称性，倒序相加求和.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16. （本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
的面积为
，求
及
的值.

【解析】（Ⅰ）

-------------------------------------------2分

即

---------------------------------4分

又
，
-------------------------------------------5分

（Ⅱ）
----------------------6分

由正弦定理，得

----------------------8分

且
----------------------9分

，
由正弦定理得：

解得
----------------------12分

【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式.

17.（本小题满分12分）

2016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为
，赔钱的概率是
；乙股票赚钱的概率为
，赔钱的概率为
.对于甲股票，若赚钱则会赚取5万元，若赔钱则损失4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取6万元，若赔钱则损失5万元.

（Ⅰ）求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；

（Ⅱ）试求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望.

【解析】（Ⅰ）袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率为

-----------------------------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）用
万元表示袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益，则
的所有可能取值为
-----------------------------------------------------------------------------------5分

---------------------------------------------------6分

---------------------------------------------------7分

---------------------------------------------------8分

--------------------------------------------------9分

所以，
的分布列为























-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分

的数学期望为

-------------------------------------------------12分

【考点】相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列及期望.

18. （本小题满分12分）

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，BC＝2AB＝2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．

（Ⅰ）若
，在折叠后的线段
上是否存在一点
，且
，

使得
∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；

（Ⅱ）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值．

【解析】（Ⅰ）因为平面
平面
，平面
∩平面
,

所以

平面
，又

平面
,

所以


-----------------------------------------1分

在折起过程中，


,同时
∩

，

所以

平面
-----------------------------------------2分

方法一：以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

若
时，则各点坐标如下：
，
,
,
.

可得平面
的法向量
．--------------------------------------3分

因为
，所以

所以
,--------------------------------------4分

故
.

则
,解得
.

所以线段
上存在一点
，且
，使得
∥平面ABEF. --------------------------------------5分

方法二：线段
上存在一点
，使得
∥平面ABEF，则此时
.理由如下：

当
时，
，可知
.

过点
作
∥
交
于点
,则有
--------------------------------------3分

又
，可得
,故
.

又
,
∥
∥
,所以四边形
为平行四边形.

所以
∥
,--------------------------------------4分

又
平面ABEF，
平面ABEF

所以
∥平面ABEF-------------------------------------5分

（Ⅱ）设
，所以
，
,

所以
，--------------------------------------6分

所以当
时，
有最大值，且最大值为
.--------------------------------------7分

可得
,
,
，
.

所以
,
,
,
.

设平面
的一个法向量为
,

则
,即
.--------------------------------------------------8分

取
，则
,-------------------------------------------------------9分

设平面
的一个法向量为
,

则
，即
--------------------------------------10分

同理可得
--------------------------------------11分

所以

所以二面角E﹣AC﹣F的余弦值为
.--------------------------------------12分

【考点】线面平行与垂直的判定与性质，几何体的体积，二面角.

19．(本小题满分12分)

已知数列
的前
和为
，且
；数列
是公比大于1的等比数列，且满足
，
.

（Ⅰ）分别求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.

【解析】（Ⅰ）
时，
------------------------------------------1分

时，
，

又因为
，所以
.---------------------------------------2分

设等比数列
的公比为
，---------------------------------------3分

由已知
，即
，----------------4分

解得
，或
（舍去，因为
）

所以，
----------------5分

（Ⅱ）
，---------------------------6分

设数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
.

当
为偶数时，

-----------------------------7分

当
为奇数时，

--------------------------------------8分



则

----------------9分

-得

----------------10分

所以
----------------11分

所以，
----------------12分

【考点】等差数列及等比数列，并项法求和，错位相减法求和.

20. （本小题满分13分）

抛物线C的方程为
，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足
.

（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足
，证明线段PM的中点在y轴上；

（Ⅲ）当
=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标
的取值范围.

【解析】（Ⅰ）由抛物线
的方程
（
）得，
,----------------1分

焦点坐标为
，准线方程为
．----------------3分

（Ⅱ）证明：设直线
的方程为
，直线
的方程为
．

点
和点
的坐标是方程组
的解．将②式代入①式得
，于是
，故
　③----------------4分

又点
和点
的坐标是方程组
的解．将⑤式代入④式得
．于是
，故
．----------------5分

由已知得，
，则
．　　⑥----------------6分

设点
的坐标为
，由
，则
．----------------7分

将③式和⑥式代入上式得
，即
．

∴线段
的中点在
轴上．----------------8分

（Ⅲ）因为点
在抛物线
上，所以
，抛物线方程为
．----------------9分

由③式知
，代入
得
．

将
代入⑥式得
，代入
得
．

因此，直线
、
分别与抛物线
的交点
、
的坐标为

，
．----------------10分

于是
，
，

．

因
为钝角且
、
、
三点互不相同，故必有
．----------------11分

求得
的取值范围是
或
．----------------12分

又点
的纵坐标
满足
，故当
时，
；当
时，
．即
----------------13分

【考点】抛物线，直线与圆锥曲线的位置关系.

21. （本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ） 判断函数
在
上的单调性；

（Ⅱ） 若
恒成立, 求整数
的最大值；

（Ⅲ）求证：
.

【解析】（Ⅰ）
----------------2分

上是减函数 ---------------- 4分

（Ⅱ）
，即
的最小值大于
.

----------------5分

----------------6分

令
，则
上单调递增, ----------------7分

又
，
存在唯一实根
, 且满足

，----------------8分

当
时，
当
时，

∴
，故正整数
的最大值是3 ----9分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知
，∴
----------------10分

令
, 则
----------------11分

∴

----------------13分

∴
----------------14分

方法二：

则当
----------------10分

当
----------------11分

当
----------------12分

----------------13分

----------------14分

【考点】函数的单调性，函数的最值，恒成立问题的转化，构造新函数，证明不等式等.

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