理科数学

本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.

第
卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

第
卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第
卷（共50分）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

复数
为纯虚数，若
（
为虚数单位），则实数
的值为

B.
C.
D.-3

2.已知集合
，则下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.

3.某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生

A. 1030人 B. 97人 C. 950人 D.970人

4.设
，且
，则向量
的
夹角为

A.
B.
C.
D.

5.下列四个结论中正确的个数是

是
的充分不必要条件；

命题：
的否定是
；

若
则
的逆命题为真命题；

若
是
上的奇函数，则

1 B. 2 C. 3 D.4

6.若执行右边的程序框图，输出S的值为-4，则判断框中应填入的条件是

A.
B.
C.
D.

7.在
中，
且
的面积为
，则边
的

A.
B. 3 C.2 D.

8.已知
是常数，函数
的导函数
的图像如右图所示，则函数
的图像可能是

9.若
满足不等式组
，则
的最小值为

A. 7 B.6 C.
D.4

10.设双曲线
的两条渐近线分别
，右焦点
。若点
关于直线
的对称点
在
上则双曲线的离心率为

A. 3 B. 2 C.
D.

第
卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11.已知
，则

12.若
，则
的解集为

13.已知的展开
式中所有项的系数和为
，则

14.在三棱柱
，侧棱
平面
底面
是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为

15.已知实数
满足
且
，则
的最小值是

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.

16.（本小题满分12分）

已知函数
满足下列条件：

(周期
；(图像向左平移
个单位长度后关于
轴对称；(

求函数
的解析式；

设
，求
的值.

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
分别为
的中点，二面角
的大小为
，

求证：
平面
；

求直线
与平面
所成角的正弦值.

（本小题满分12分）

已知正项数列
的前
项和
满足
，且
是
和
的等比中项.

求数列
的通项公式；

符合
表示不超过实数
的最大整数，如
记
，求数列
的前
项和

（本小题满分12分）

四名运动员争夺某次赛事的第1,2,3,4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人.第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛（）决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1,2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3,4名.四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：

若抽签结果为甲组：
；乙组：
。每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率.

求
获得第1名的概率；

求
的名次
的分布列和数学期望.

（本小题满分12分）

已知函数

若
对于定义域内的任意
恒成立，求实数
的取值范围；

设
有两个极值点
且
，证明：

（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，其短轴的下端点在抛物线
的准线上.

求椭圆
的方程；

设
为坐标原点，
是直线
上的动点，
为椭圆的右焦点，过点
作
的垂线与以为
直径的圆
相交于
两点，与椭圆
相交于
两点，如图所示.

(若
，求圆
的方程；

(设
与四边形
的面积分别为
，若
，求
的取值范围.

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