山东省东营市2016届高三下学期第一次模拟考试

理科数学

2016．3

本试卷共5页，分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．

第I卷(选择题 共50分)

注意事项：

1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题号上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i是虚数单位，若复数
是纯虚数，则

A.
B.1 C.
D.2

2.已知集合
，则M的子集个数为

A.5 B.4 C.3 D.2

3.在
中，P,Q分别是AB，BC的三等分点，且
，若
，则

A.
B.
C.
D.

4.已知函数
，则函数
的大致图象为

5.已知双曲线
的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为

A.
B.
C.
D.

6.已知p：函数
上是减函数，
恒成立，则
是q的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知两条不同的直线
和两个不同的平面
，以下四个命题：

①若
②若

③若
④若

其中正确命题的个数是

A.4 B.3 C.2 D.1

8.设函数
为偶函数，且
，满足
时，
，则当
时，

A.
B.
C.
D.

9.执行如图所示的程序框图，若输出的
，则输入的整数K的最大值是

A.18 B.50 C.78 D.306

10.已知函数
有三个不同的零点
（其中
），则
的值为

A.
B.
C.
D.1

第II卷（非选择题 共100分）

注意事项：

将第II卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.观察下列各式：

……

照此规律，当
____________.

12.已知
中，
分别为内角
的对边，且
，则
___________.

13.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M，则点M恰好取自阴影部分的概率为__________.

14.将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子和有2个连号小球的所有不同放法有___________种.（用数字作答）

15.已知抛物线
的准线方程为
焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，
成等差数列，且点B在x轴下方，若
，则直线AC的方程为___________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知函数
处取得最值，其中
.

（I）求函数
的最小正周期；

（II）将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若
为锐角，
，求
.

17. （本小题满分12分）

如图所示几何体中，四边形ABCD和四边形BCEF是全等的等腰梯形，且平面
平面ABCD，AB//DC，CE//BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G为线段AB的中点.

（I）求证：
；

（II）求二面角
（钝角）的余弦值.

18. （本小题满分12分）

已知正项数列
的前n项和为
，且
，数列
满足
.

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）记
，求
.

19. （本小题满分12分）

某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在
内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表.规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.

为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照
的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.

（I）求n和频率分布直方图中的
的值；

（II）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；

（III）在选取的样本中，从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记
表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量
的分布列及数学期望.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率
，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线与圆
相交所得弦的长度为1.

（I）求椭圆E的方程；

（II）若动直线l交椭圆E于不同两点

，O为坐标原点.当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：
的面积为定值，并求出该定值.

21. （本小题满分14分）

函数
.

（I）函数
时，求函数
的单调区间；

（II）若
的极大值点.

（i）当
时，求b的取值范围；

（ii）当a为定值时，设
的3个极值点.问：是否存在实数b，可找到
使得
的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的b的值及相应的
；若不存在，说明理由.

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