北镇中学、莱芜一中、德州一中高三下学期4月联考数学（文）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
分．考试时间
分钟．

2．答卷前，考生务必先将自己的班级、姓名、准考证号、座号用
mm黑色签字笔和
B铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上．

3．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸．

参考公式：

用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式
．

球的表面积公式
，其中
是球的半径．

如果事件
互斥，那么
；如果事件
对立，那么
．

第Ⅰ卷（共
分）

一、选择题：本大题共
小题，每小题
分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．

1．已知集合
，若
，则
（　　）

A　
B　
C　
D　

2．已知复数
，
（
为虚数单位），若
为纯虚数，则实数
的值为（　　）

A　
B　
C　
D　

3．执行如图所示的程序框图，若输入的
的值为
，则输出的
的值为（　　）

A　
B　
C　
D　

4．设
R，则“
”是“
” 的（　　）

A　充分不必要条件 B　必要不充分条件

C　充要条件 D　既不充分也不必要条件

5．已知具有线性相关关系的两个变量
之间的一组数据如下：



























且回归直线方程为
，根据模型预报当
时，
的预测值为（　　）

A　
B　
C　
D　

6．函数
的图象大致是（　　）

A　 B

C D

7．已知函数
，则
的值为（　　）

A　
B　

C　
D　

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　　）

A　
B　

C　
D　

9．已知函数
是定义在R上的可导函数，
为其导函数，若对于任意实数
，都有
，其中
为自然对数的底数，则（　　）

A　
B　

C　
D　
与
大小关系不确定

10．对于两个平面向量
，定义它们的一种运算：
（其中
为向量
的夹角），则关于这种运算的以下结论中，不恒成立的是（　　）

A　

B　若
，则

C　

D　若
，则

第Ⅱ卷（共
分）

二、填空题：本大题共
小题，每小题
分，共
分．

11．函数
的定义域为________．

12．若直线
过圆
的圆心，则
的最大值为________．

13．设△
的内角
的对边分别为
，若
，则
________．

14．某企业生产甲、乙两种产品均需用
两种原料．已知生产
吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产
吨甲、乙产品可获利润分别为
万元、
万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．

甲

乙

原料限额




（吨）










（吨）









15．抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点的连线交
于第一象限的点
．若
在点
处的切线平行于
的一条渐近线，则
________．

三、解答题：本大题共
个小题，共
分．

16．（本小题满分
分）某市为庆祝北京夺得
年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取
名群众，按他们的年龄分组：第
组
，第
组
，第
组
，第
组
，第
组
，得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选
人进行采访，估计被采访人恰好在第
组或第
组的概率；

（Ⅱ）已知第
组群众中男性有
名，组织方要从第
组中随机抽取
名群众组成志愿者服务队，求至少有
名女性群众的概率．

17．（本小题满分
分）已知函数
的两条相邻对称轴之间的距离为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在区间
上存在零点，求实数
的取值范围．

18．（本小题满分
分）如图，在三棱柱
中，
，点
分别是
的中点，
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
．

19．（本小题满分
分）已知等比数列
的前
项和为
，
，且
成等差数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足
，求满足方程
的正整数
的值．

20．（本小题满分
分）已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）当
时，讨论
的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的
都有
，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分
分）已知椭圆
的离心率为
，它的四个顶点构成的四边形的面积为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设椭圆
的右焦点为
，过
作两条互相垂直的直线
，直线
与椭圆
交于
两点，直线
与直线
交于
点．

（i）求证：线段
的中点在直线
上；

（ii）求
的取值范围．

数学（文科）参考答案及评分标准

2016.3

说明：

1．本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准标准酌情赋分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题共
小题，每小题
分，共50分．

1．【答案】D．

【解析】由
得
，所以
，所以
，所以
．故选D．

【考点】元素与集合关系、集合运算．

2．【答案】C．

【解析】由题意可得，
，因为
为纯虚数，所以
，所以
．故选C．

【考点】复数的概念、复数的代数运算．

3．【答案】D．

【解析】执行程序框图，第一次
，第二次
，第三次
，第四次
，第五次
，所以输出的
的值为
．故选D．

【考点】程序框图输出结果．

4．【答案】B．

【解析】由题意可得，“
”等价于“
或
”，即“
” ，所以“
”是“
” 的必要不充分条件．故选B．

【考点】充要条件、不等式性质．

5．【答案】C．

【解析】由题意可得，
，
，因为回归直线一定过样本点的中心
，所以
，解得
．当
时，
的预测值为
．故选D．

【考点】线性回归直线方程、预测值．

6．【答案】B．

【解析】由题意可得，
，所以
为偶函数，
的图象关于
轴对称，可排除答案A、C；当
时，
，可排除D．故选B．

【考点】函数的图象与性质．

7．【答案】A．

【解析】由题意可得，
，所以
，所以
．故选A．

【考点】函数值、指对运算．

8．【答案】D．

【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为
，高为
的圆锥．设其外接球的半径为
，则
，解得
，所以该几何体外接球的表面积为
．故选D．

【考点】三视图、组合体体积．

9．【答案】A．

【解析】构造函数
R，
的导函数
．因为
，
，所以
，
在R上是减函数，所以
，所以
．故选A．

【考点】抽象函数单调性、比较大小．

10．【答案】C．

【解析】因为
，所以
，选项A恒成立．当
，
时，
，所以
或
，所以
；当
或
时，
恒成立，选项B恒成立．

，选项D恒成立．当
时，
，选项C不恒成立．故选C．

【考点】新定义、数量积．

编者注：本题中
在印刷体中用黑体来表示。

二、填空题：本大题共
小题，每小题
分，共
分．

11．【答案】
．

【解析】由题意可得
，整理得
，所以函数
的定义域为
．

【考点】定义域、解不等式．

12．【答案】
．

【解析】圆
可化为
，其圆心为
，代入直线方程得
．因为
，所以
，当且仅当
，即
等号成立．所以
的最大值为
．