高三年级期末教学质量抽测试题

数学(理科)

2016.

注意事项：

1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，共60分；第II卷为非选择题，共90分，满分150分。考试时间为120分钟．

2．答第I卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目填写清楚，并用2B铅笔涂写在答题卡上，将第I卷选择题的答案涂在答题卡上．

3．答第II卷时须将答题纸密封线内的项目填写清楚，第II卷的答案用中性笔直接答在答题纸指定的位置上．考试结束后，只收答题卡和第II卷答题纸．

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．)

1.已知全集为R，集合

A.
B.
C.
D.

2.复数
的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

3.下列说法中正确的是

A.命题“若
”的逆命题是“若
，则
”

B.若命题
，则

C.设l是一条直线，
是两个不同的平面，若
，则

D.设
，则“
”是“
”的必要而不充分条件

4.设随机变量X服从正态分布
，若
，则

A.2 B.3 C.9 D.1

5.已知
，则向量
的夹角为

A.
B.
C.
D.

6.为了得到函数
图象，只需把函数
图象上所有点

A.向右平行移动
个单位长度

B. 向右平行移动
个单位长度

C.向左平行移动
个单位长度

D. 向左平行移动
个单位长度

7.周期为4的奇函数
上的解析式为
，则

A.0 B.1 C.2 D.3

8.函数
的部分图像可能是

9.抛物线
的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点，且满足
.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则
的最大值是

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，满足
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填写到答题卡的相应位置.

11.函数
的图象和直线
围成一个封闭的平面图形的面积为________.

12.如图给出的是计算
的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.

13.将边长为2的正
沿BC边上的高AD折成直二面角
，则三棱锥
的外接球的表面积为________.

14.若多项式
，则
_______.

15.已知函数
有且只有一个零点，则k的值为_______.

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

已知向量
，函数
.

（1）若
，求
的值；

（2）在
中，角A,B,C对边分别是
，且满足
，求
的取值范围.

17. （本小题满分12分）

甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为
，甲班胜丙班的概率为
，乙班胜丙班的概率为
.

（1）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；

（2）设在该次比赛中，甲班得分为
，求
的分布列和数学期望.

18. （本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面
平面ABC，
是边长为2的等边三角形，
和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在
的平分线上.

（1）求证：DE//平面ABC；

（2）求二面角
.

19. （本小题满分12分）

已知数列
是首项为正数的等差数列，数列
的前n项和为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前2n项和
.

20. （本小题满分13分）

已知函数
的切线方程为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，当
时，求证：
；

（3）已知
，求证：
.

21. （本小题满分14分）

已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率
，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点
是线段OF上的一个动点，且
，求m的取值范围；

（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。

高三年级期期末教学质量抽测试题

理科数学 2016.01

选择题

1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.B 8.A 9.C 10.B

填空题

11.
12.
13.
14.-10 15.

解答题

16.已知向量
，
，函数
.

(1)若
，
，求
的值;

(2)在
中，角
对边分别是
，且满足
，求
的取值范围。

16. 【解析】(1)

---------------------------------2分

--------------------------4分

--------------------------6分

（2）由
，得

--------------------------------------------8分

--------------------------------------------9分

------------------------------------------------10分

从而得

故
----------------------12分

17.甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得
分，负者得
分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为
，甲班胜丙班的概率为
，乙班胜丙班的概率为
．

（Ⅰ）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；

（Ⅱ）设在该次比赛中，甲班得分为
，求
的分布列和数学期望．

17.解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，

∴甲获第一的概率为
……………2分

丙获第二，则丙胜乙，其概率为
…………4分

∴甲获第一名且丙获第二名的概率为
……………6分

（2）ξ可能取的值为O、3、6 …………………………7分

甲两场比赛皆输的概率为
………………8分

甲两场只胜一场的概率为
…………9分

甲两场皆胜的概率为
……………10分

∴ξ的分布列为

ξ

0

3

6



P










…………l2分

18.在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

18.证明：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，

取AC中点O，连接BO，DO，

则BO⊥AC，DO⊥AC， ...........2分

又∵平面ACD⊥平面ABC，

∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，

那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，

∵BE和平面ABC所成的角为60°，

∴∠EBF=60°，

∵BE=2，∴
， ...........4分

∴四边形DEFO是平行四边形，

∴DE∥OF，

∵DE不包含于平面ABC，OF?平面ABC，

∴DE∥平面ABC． .................6分

(2)以OA,OB,OD为x轴，y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

B（0，
，0），C（﹣1，0，0），E（0，
，
），

∴
=（﹣1，﹣
，0），
=（0，﹣1，
），

平面ABC的一个法向量为

设平面BCE的一个法向量为

则
，∴
，

∴
．...............9分

所以
，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，

二面角E﹣BC﹣A的余弦值为
． ...................12分

19.已知数列
是首项为正数的等差数列，数列
的前
项和为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前2
项和
.

解：（I）设数列
的公差为
，

令
得
，所以
.------------2分

令
得
，所以
. --------4分 中学联盟网

解得
，所以
-------6分

（2）由题意知，
------7分

所以
--------9分

10分

----------------------------------------12分

20.已知函数
在点
的切线方程为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）设
时，求证：
；

（3）已知
，求证：
.

20解：（1）将
代入切线方程得
， ∴
，…………1分

化简得
.
，……………2分
，

解得：
.∴
. …………4分

（2）由已知得
在
上恒成立，

化简
，即
在
上恒成立.…………5分

设
，
， …………7分

∵
∴
，即
，

∴
在
上单调递增，
，∴
在
上恒成立 .…………１０分

（3）∵
， ∴
，由（Ⅱ）知有
， ……12分

整理得
，∴当
时，
. …………13分

21.已知椭圆的焦点在
轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率
，过椭圆的右焦点
作与坐标轴不垂直的直线
，交椭圆于
、
两点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点
是线段
上的一个动点，且
，求
的取值范围；

（3）设点
是点
关于
轴的对称点，在
轴上是否存在一个定点
，使得
、
、

三点共线？若存在，求出定点
的坐标，若不存在，请说明理由。

解：（I）设椭圆方程为
，由题意知