蚌埠市2016届高三年级第三次教学质量检查考试

数学试卷（理工类）

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置.

1.若复数
满足
为虚数单位），则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.各项均为正数的等比数列
中，且
，则
（ ）

A.16 B.27 C.36 D.－27

4.已知
，且
，下列函数中，在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

5.设实数
，
满足约束条件
则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知两个非零向量a,b满足a·(a-b)=0，且2|a|=|b|，则向量a,b的夹角为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.执行如图所示的程序框图，如果输入
，则输出
的值为

A.6 B.8 C.10 D.12

8.已知
分别是椭圆
的左，右焦点，
分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点
的直线交椭圆于
，
两点．
的周长为8，且直线
的斜率之积为
.则椭圆的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积

为（ ）

A.
B.

C.
D.

10.命题
：“
”；命题
：“对任意的
，

不等式
恒成立”，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

11.如图，已知直线
与曲线
相

切于两点，则
有（ ??）

A.2个零点

B.2个极值点

C.2个极大值点

D.3个极大值点

12.从
中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，
）的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.

13.已知双曲线
的渐近线为
，则该双曲线的离心率是 .

14.在
的展开式中,
项的系数是 .

15.在四面体
中，
， 则该四面体的外接球的表面积为 .

16.设
是等差数列
的前
项和，且满足条件
，则
的值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤.

17．(本小题满分12分)

设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为
，

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围.

18．(本小题满分12分)

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间
，
，
内的频率之比为
．

（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间

内的频率；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产

的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中

质量指标值位于区间
内的产品件数为

，求
的分布列与数学期望．

19.(本小题满分12分)

在四棱锥
中，
，
，平面
平面
，
，且
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

20.(本小题满分12分)

过抛物线
的准线上的动点
作
的两条切线，斜率分别为
，切点为
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）
在
上的射影
是否为定点，若是，请求出其坐标，若不是，请说明理由.

21.(本小题满分12分)

设函数

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
，
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲

圆
是以
为直径的圆，延长
与
交于
点.

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）
，求
的长.

23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴正方向建立直角坐标系，点
，直线
与曲线
交于
、
两点．

（Ⅰ）写出直线
的极坐标方程与曲线
的普通方程；

（Ⅱ）求线段
、
长度之积
的值．

24. (本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲

设函数
，

（Ⅰ）当
时，求使

的
取值范围；

（Ⅱ）若
恒成立，求
的取值范围.

蚌埠市2016届高三年级第三次教学质量检查考试

数学（理工类）答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

B

C

C

B

C

C

B

A

D

B





二、填空题：

13.2 14.
15.
16.
.

三、解答题：

17.（本题满分12分）

解：（1）正弦定理可得
； …………………………………………………………6分

（2）化简，利用弦的有界性可得：
.……………………12分

18. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）设区间
内的频率为
，

则区间
，
内的频率分别为
和
．

依题意得
，……………3分

解得
．

所以区间
内的频率为
． ……………………………………………5分

（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，

所以
服从二项分布
，其中
．

由（Ⅰ）得，区间
内的频率为
，

将频率视为概率得
．………………………………………………………7分

因为
的所有可能取值为0，1，2，3，

且
，
，

，
．

所以
的分布列为：

0

1

2

3





0.064

0.288

0.432

0.216



所以
的数学期望为
．

（或直接根据二项分布的均值公式得到
）

……………………………………………12分

19. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）证明： 作
于

，
CE与AD必相交，

又
平面
平面
，

平面PAB，

又
，

平面
. …………………5分

（Ⅱ）（方法一：综合法）连AC，

由已知得AC=2，
，

从而
，

又
，

平面
，

从而平面PCD
平面PAC

作
于
，
于
，连
，

设则所求的二面角为

，
，
，所以

.……………………………12分

（法二：向量法（略））…………………………………………………………12分

20. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）设
，过
的切线
的方程为：
，联立方程组：

，消去
得：
①

…………………………………………………………3分

与
相切时，方程①由两个相等的实根，则
，即
②

方程②的两根
是切线
的斜率，由根与系数的关系知：

； ……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设
，
的斜率为
，

则
是方程①的相等实根，由根与系数的关系

得：
，则
，

由题意，CB的斜率为
，

同理
，
，

那么
，

直线
的方程为：
，

令
，得
，即直线
经过焦点
.

由方程②得
，则直线
的一个方向向量为

，

，

显然

=0.

所以，
在直线
上的射影为定点
………………………………12分

21. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）由题易知函数
的定义域为
，

， ………………………………………2分

设

………………………………3分