2016年安庆市高三模拟考试（二模）

数学（理科）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设
是虚数单位，如果复数
的实部与虚部相等，那么实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.如图所示的算法框图中，
是自然对数的底数，则输出的
的值为（参考数值：
）（ ）

A．
B．
C．
D．

5.数列
满足：
（
，
且
），若数列
是等比数列，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，则
的递增区间为（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

7.给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．已知函数
的拐点是
，则点
（ ）

A．在直线
上 B．在直线
上

C．在直线
上 D．在直线
上

8.已知向量
、
、
满足
，
，
，
、
分别是线段
、
的中点．若
，则向量
与向量
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.如果点
在平面区域
上，则
的最大值和最小值分别是（ ）

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

10.设点
、
分别是双曲线
（
，
）的右顶点和右焦点，直线
交双曲线的一条渐近线于点
．若
是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.设函数
，
，其中
．若函数
在区间
上有且仅有一个零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
或
B．
C．
或
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若抛物线
的准线被圆心为
的圆截得的弦长等于
，则该圆的半径为 ．

14.将
展开后，常数项是 ．

15.在平行四边形
中，
，
．将此平行四边形沿
折成直二面角，则三棱锥
外接球的表面积为 ．

16.已知数列
是各项均不为零的等差数列，
为其前
项和，且
（
）．若不等式
对任意
恒成立，则实数
的最大值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

如图，
是直角
斜边
上一点，
．

（I）若
，求角
的大小；

（II）若
，且
，求
的长．

18.（本小题满分12分）

在如图所示的多面体
中，面
是边长为
的菱形，
，
，
面
，
，且
．

（I）证明：
平面
；

（II）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

近年来，全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾．是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．一般来说，老年人（年满
周岁）从情感上不太支持禁放烟花爆竹，而中青年人（
周岁至
周岁以下）则相对理性一些．某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对
位老年人和中青年市民进行了随机问卷调查，结果如下表：

（I）有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关？请说明理由；

（II）从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出
人，再从这
人中随机的挑选
人，了解它们春节期间在烟花爆竹上消费的情况．假设老年人花费
元左右，中青年人花费
元左右．用
表示它们在烟花爆竹上消费的总费用，求
的分布列和数学期望．

20.（本小题满分12分）

已知定圆

，动圆
过点
，且和圆
相切．

（I）求动圆圆心
的轨迹
的方程；

（II）设不垂直于
轴的直线
与轨迹
交于不同的两点
、
，点
．若
、
、
三点不共线，且
．证明：动直线
经过定点．

21.（本小题满分12分）

设函数
，
，其中
，且
．

（I）若直线
（
为自然对数的底数）与曲线
和
分别交于
、
两点，且曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线互相平行，求
的值；

（II）设
（
，且
）有两个极值点
，
，且
，证明：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，以
的边
为直径作
，
与边
的交点
恰为
边的中点，过点
作
于点
．

（I）求证：
是
的切线；

（II）若
，求
的值．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数，
为直线的倾斜角）．

（I）写出直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（II）若直线
与曲线
有唯一的公共点，求角
的大小．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
，其中
．

（I）当
时，解不等式
；

（II）若对于任意实数
，恒有
成立，求
的取值范围．

2016年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题(理科)参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

A

C

D

B

B

A

B

D

A

C



1. 解析：
，
，
=
.

2. 解析：
，
，
.

3. 解析： 若
，则
但反之不然.

4. 解析: ∵
，∴

∴
时，符合
，∴ 输出的结果
.

5. 解析: 由
，得
.由于数列
是等比数列，所以
，得
.

6. 解析: 由图象可知
，
，所以
，故
.

由
，得
（
）. ∵
∴

所以
. 由
（
），

得
（
）.

或：
，所以
，
，

，所以