安徽省合肥市2016届高三第二次教学质量检测数学理试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合
为自然数集，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2.若
是虚数单位，复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.已知等差数列
的前
项和为
，
，当
取最大值时
的值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

4.若
都是正数，则
的最小值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

5.已知抛物线
上一点
到焦点
的距离等于
，则直线
的斜率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.点G为
的重心（三角形三边中线的交点），设
，则
（ ）

7.由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．14 B．
C．22 D．

8.执行下面的程序框图，则输出的
的值为（ ）

A．10 B．11 C．1024 D．2048

9.在三棱锥
中，
，
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知实数
满足
，若
的最小值为-5，则实数
的值为（ ）

A．-3 B．3或-5 C．-3或-5 D．

11.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生
和
都不是第一个出场，
不是最后一个出场”的前提下，学生
第一个出场的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.定义在
上的偶函数
的导函数为
，若对任意的实数
，都有
恒成立，则使
成立的实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.命题“
”的否定是 ．

14.双曲线
的左，右焦点分别为
，记
，以坐标原点
为圆心，
为半径的圆与双曲线
在第一象限的交点为
，若
，则
点的横坐标为 ．

15.已知各项均为正数的数列
前
项和为
，若
，则
．

16.若函数
有4个零点，则
的取值范围为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在
中，三个内角
所对的边分别为
，已知函数
为偶函数，

（1）求
；

（2）若
，求
的面积

18.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（
个月）和市场占有率（
）的几组相关对应数据；

1

2

3

4

5





0.02

0.05

0.1

0.15

0.18



（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程；

（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过
（精确到月）

附：

19.如图，六面体
中，四边形
为菱形，
都垂直于平面
，若

（1）求证：
；

（2）求
与平面
所成角的正弦值

20.已知椭圆
经过点
，且离心率为
，
是椭圆
的左，右焦点

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
是椭圆上
关于
轴对称两点（
不是长轴的端点），点
是椭圆
上异于
的一点，且直线
分别交
轴于点
，求证：直线
与直线
的交点
在定圆上

21.已知函数
（
为实数）

（1）试讨论函数
的单调性；

（2）若对
恒有
，求实数
的取值范围

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.如图，
为四边形
外接圆的切线，
的延长线交
于点
，
与
相交于点
，

（1）求证：
；

（2）若
，求
的长

23.在直角坐标系
中，曲线
（
为参数），在以
为极点，
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线

（1）若
，判断直线
与曲线
的位置关系；

（2）若曲线
上存在点
到直线
的距离为
，求实数
的取值范围

24.已知函数
（
）的最小值为

（1）求实数
的值；

（2）解不等式

合肥市2016届高三第二次教学质量检测

数学试题（理）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

C

A

D

A

C

A

D

A

B



二、填空题

13.
14.

15.
16.

三、解答题

17.解：（1）

由
为偶函数可知
，所以

又
，故

所以
……………6分

当
时，
的面积
……………12分

18.解：（1）经计算
，所以线性回归方程为
；……………6分

（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点；

由
，解得

预计上市13个月时，市场占有率能超过
……………12分

19.解：（1）连接
，由
可得
为平行四边形，所以
，而
，所以
，因为
，

所以
，又
，
……………5分

（2）设
，由已知可得：
，所以
，

同理可得：
，所以
为平行四边形，所以
为
的中点，
为
的中点，所以
，从而
，又
，所以
两两垂直，由平几知识，得

如图，建立空间直角坐标系
，则

设平面
的一个法向量为
，

由
可得：
，令
，则

设
与平面
所成角为
，则

……………12分

20.解：（1）由条件得
，所以椭圆
的方程
……………5分

（2）解设
，则

直线
的方程为
，令
，得

故
，同理可得

所以，

所以，
，所以直线
与直线
交于点
在以
为直径的圆上 ……………12分

21.解：（1）

1）当
时，
在
单调减和
单调增；

2）当
时，

当
时，
恒成立，此时
在
单调增；

当
时，由
得，
，

在
单调减，在
单调增；

当
时，
在
单调增，在
单调减， ……………5分

（2）令
，则

因此，
在
单调减，在
单调增

当
时，
，显然，对
不恒有
；

当
时，由（1）知，
在
单调增，在
单调减

，即

所以，在
上，

又

所以
，

即满足对
恒有

综上，实数
……………12分

22.解：（1）
为切线，

……………5分

（2）已知
，由切割线定理

得：
，得

又知
，所以

所以
，所以
……………10分

23.解：（1）曲线
的直角坐标方程为：