银川九中2016届高三第四次模拟考试

数学理科试卷

（满分150）命题人：王字忠

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2已知
是虚数单位，若
，则复数
在复平面内对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知命题p:函数
的图象的对称中心坐标为
；命题q：若函数
在区间
上是增函数，且
>0，则有
成立.下列命题为真命题的是( )

A.
B.

C.
D.

4．口袋中有5个小球，其中两个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则在取到的两个球同色的条件下，取到的两个球都是白球的概率（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知
，
满足约束条件 则目标函数
的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

6．如图，给出的是求
……
的值的一个程序框图，

则判断框内填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

7． 在平面直角坐标系中，双曲线
过点
，且其两条渐近线的方程分别为
和
，则双曲线
的标准方程为（ ）

A．
B．
C．
D．
或

8．已知函数
（
）的图象过点
，如图，则
的值为( )

A．
B．
C．
或
D．
或

9．用数学归纳法证明不等式“
”时，由

不等式成立，推证
时，左边应增加的项数是 ( )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在长方体
中，点P是棱
上一点，则三棱锥
的左视图可能为（ ）

A B C D 主视方向

11．已知数列
为等差数列，且公差
，数列
为等比数列，若
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．
与
大小无法确定

12．设函数
，
，若实数
满足
，
， 则 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13有
本不同的书，其中语文书
本，数学书
本，物理书
本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书均不相邻的摆法有 种. （用数字作答）

14．点
在
的边
所在直线上，且满足
（
），则在平面直角坐标系中，动点
的轨迹的普通方程为 ．

15．数列
中，
，前项和为
，且
，则数列
的通项公式为 ．

16. 在椭圆
上有两个动点
，
，若
为定点，且
，则
的最小值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

如图，在△ABC 中，点D在边 AB上，且
．记∠ACD＝
，∠BCD＝
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求BC 的长．

18．（本小题满分12分）

某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：

城市

A

B

C

D

E



4S店个数x

3

4

6

5

2



销量y(台)

28

30

35

31

26



（Ⅰ）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中

被选中的4S店个数X的分布列和期望．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（1）求证：AC⊥平面BDEF；

（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

20.（本小题满分12分）

动点
在抛物线
上，过点
作
垂直于
轴，垂足为
，设
.

（I）求点
的轨迹
的方程；

（II）设点
，过
的直线
交轨迹
于
两点，设直线
的斜率分别为
，求
的最小值.

21．（本小题满分12分）已知函数
（
为常数），函数


，（
为常数，且
）．

（Ⅰ）若函数
有且只有1个零点，求
的取值的集合；

（Ⅱ）当（Ⅰ）中的
取最大值时，求证：
．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

已知四边形
为
的内接四边形且
，其对角线
与
相交于点

，过点
作
的切线交
的延长线于点
.

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若
，求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
为参数
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，且曲线
的左焦点
在直线
上.

（I）若直线
与曲线
交于
两点，求
的值；

（Ⅱ）求曲线
的内接矩形的周长的最大值.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知
使得关于
的不等式
成立．

（I）求满足条件的实数
集合
；

（Ⅱ）若
且对于
，不等式
恒成立，试求
的最小值.

理科答案

一、DDADC BBACD CB

13 . 48 14．
15．
16.

17．解：（Ⅰ） 在
中，由正弦定理,有

在
中，由正弦定理,有

因为
,所以

因为
, 所以
6分

（Ⅱ）因为
，
,由（Ⅰ）得

设
,由余弦定理,

代入,得到
,

解得
,所以
. 12分

18．（Ⅰ）
，

-------------3分

，
y关于x的线性回归方程为：
．-------------6分

（Ⅱ）
的可能取值为：
．

，
，
，
．

-------------9分
























．-------------12分

19.（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．

因为四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD，

且O为AC中点．又FA=FC，

所以AC⊥FO． 　　

因为FO∩BD=O，

所以AC⊥平面BDEF． 　

（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，

所以△DBF为等边三角形．

因为O为BD中点，所以FO⊥BD，

故FO⊥平面ABCD．　

由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，

则BD=2，所以OB=1，
．

所以
．

所以
，
．

设平面BFC的法向量为
，

则有
，所以
，取x=1，得
．

由图可知平面AFC的法向量为
．

由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得
=
．

所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为
；

20.解：（I）设点
，
，则由
，得
，

因为点
在抛物线
上，所以，
. …………………………4分

（II）方法一：

由已知，直线
的斜率一定存在，

设点
，
，则

联立
，

得，
，

由韦达定理，得
. ………………………………………6分

当直线
经过点
即
或
时，

当
时，直线
的斜率看作抛物线在点
处的切线斜率，

则
，
，此时
；

同理，当点
与点
重合时，
（学生如果没有讨论，不扣分）

直线
不经过点
即
且
时∵
，

………………………………………………8分

， ……………………………………………………………10分

故
，

所以
的最小值为1. ……………………………………………………………12分

方法二：同上

，………………………8分