内江市2016届高中三年级第四次模拟考试题

数学理　2015.3.15

本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），考试时间120分钟，试卷总分为150分.请考生按规定用笔将试题的答案涂、写在答题纸上.

第一部分（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.

1.集合
的子集个数为 ( A )

A.8 B. 7? C. 4? D. 3

2.复数z＝，则（ D ）

A. |z|＝2 B.z的实部为1

C. z的虚部为－i D.z的共轭复数为－1＋i

3.已知函数
，则（
（　A ）

A.
B.
? C. 2? D. 4

4.给出下列四个结论：

①如果
，那么
在
方向上的投影相等

②已知平面
和互不相同的三条直线
，若
、m是异面直线，


；

③过平面
的一条斜线有一个平面与平面
垂直

④设回归直线方程为
，当变量x增加一个单位时，
平均增加2个单位

其中正确结论的个数为　（C）

A.1 B.2 C.3 D.4

5.如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ C ）

A．
B．

C．
D．

6. 若
成等比数列，则下列三个数：①
②
③
，必成等比数列的个数为（ B ）

A.0 B.1 C.2 D.3

7. 如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量
，
，
满足
，（
），则
　　D

A.0 B.1 C.
D.

8.（理）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名研究生的情况有 （D） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种

9.（理）
为双曲线
的右焦点，点
在双曲线右支上，
（
）满足
，
，则双曲线的离心率为 B

A.
B.
C. 2 D.

10.（理）设函数
在R上存在导数
，在
上
，且
，有
，则以下大小关系一定正确的是　　　C

A.
　　　　　　　 B.

C.
　　　　　　　 D.

第二部分

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.请把答案填在答题卡上的相应横线上.）

11. （理）若
，则
的值为___-2__．

12.（理）若实数x,y满足不等式组
，则
的最大值是　19　．

13. （理）右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为
.

14.（理）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝ 11 .

15.（理）已知函数
，
，若
，则实数m的取值范围是
.

三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本小题满分12分）

（理）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15度，边界忽略不计)即为中奖．

乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球(这些球除颜色外完全相同)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．

（1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由；

（2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为
，求
的期望.

解：（1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件
，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为
（
为圆盘的半径)，阴影区域的面积为

.

所以，
. …………………………3分

设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件
，则一切等可能的结果有
种，其中摸到的
个球都是红球有
种.

所以，

. 　　　　　…………………………5分

因为
，

所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． 　　　 …………………………6分

（2）由题意知
的取值为0，1，2 　　　 …………………………7分

∴　

　　　 …………………………10分

∴　所以，
的分布列为

0

1

2



P









 …………………11分

的数学期望

…………………………………12分

17．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

（1）求函数
的频率和初相；

（2）在
中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若
，
，c＝2，求
的面积．

解：（1）

　　　　　　　　　
………1分

………………………3分

………………………4分

所以，函数
的频率
，初相为
………………6分

（2）∵　在
中，
，

∴　
，

∴　
， ………………………7分

∵　
，

∴　
，

，

∴　
………………………9分

又由正弦定理得

，解得　
………………………10分

∴　
……………………12分

18.（本小题满分12分）

（理）已知正项数列
的前n项的和是
，且任意
，都有
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和
．

解：（1）由题意知：①当n=1时，∵2S1＝
，所以

∴
　　　 ……………………………………………………………1分

②当n≥2时，

　　　　∴　

　　　　∴　
………………………………………………………………4分

∴ 数列
是以1为首项，公差为1的等差数列，

　　　　∴　
　 …………………………………………………………………6分

（2）由（1）知
，

∴　
　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………………7分

当
时

　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　…………………………………9分

当
时

　　　　

　　　　　　　　………………………………11分

综上：
． 　　 　………………………………12分

19．（本小题满分12分）

（理）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD＝60°，PB＝2√3，PA＝ED＝2AE＝2．

（1）求证：
平面
；

（2）若二面角F－BE－C为30°，设=λ，求λ的值．

解：（1）因为

所以
.

所以
. …………………2分

又平面
平面
，且平面
平面
,

∴　　
平面
；　…………………………………………4分

（2）由（1）及已知可得：PE、EA、EB两两垂直，EB＝3，…………5分

∴　以E为原点建立空间直角坐标系如图所示，则

E（0，0，0）、B（0，3，0）、C（-2，3，0）、P（0，0，
），

设F（x，y，z），

∵　=λ

∴　（x，y，z-
）=-λ（x+2，y-3，z）,

解得：
，
，

∴　=（
，
，
）, =（0，3，0）,

…………………8分

设平面BEF的法向量为=（x0，y0，z0）,则·＝0，·＝0，

∴　

解得：

∴　平面BEF的法向量为=（
，0，1）……………………………10分

又　平面BEC的法向量为=（0，0，1）

∵　二面角F－BE－C为30°，

∴ |·|= ||·||cos30°,

即　

解得　
． …………………………………………12分

20．（本小题满分13分）

（理）已知椭圆
的左、右焦点为F1，F2，M为短轴端点，且S△MF1F2＝4，离心率为
,O为坐标原点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
作两条射线，与椭圆C分别交于A，B两点，且满足
证明点
到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.

解：（1）因为椭圆
,由题意得

,
，
， ……… 2分

解得
……………………… 3分

∴　椭圆
的方程为
　……………………… 4分

（2）因为
，所以有
，即两条射线OA、OB互相垂直． 　　　　　　　　 …………………………5分

当直线AB斜率不存在时，容易求出直线AB的方程为
，此时原点与直线AB的距离
； …………………………6分

当直线AB斜率存在时，设
，直线AB的方程为

解方程组
得
,

即
,

则△=
,即

……………… 8分

∴

∴
,

所以

∴
……………… 9分

∴ O到直线AB的距离

综上：O到直线AB的距离为定值
. …………………10分

，当且仅当OA=OB时取“=”号.

∴
， …………………11分

又
，∴
,

∴
，

即弦AB的长度的最小值是
．　　………………………………………13分

21．（本小题满分14分）

（理）已知函数
的图像在
处的切线方程为
．

（1）求s，k的值；

（2）若正项数列
满足
，
，证明：数列
是递减数列；

（3）若
，当
时，讨论函数
与
的图像公共点的个数．

解：（1）由题意得
，
，

则　
，　　　　　　　　　…………………………………………2分

解得　
，
　　　　　　　　…………………………………………3分

（2）∵　正项数列
满足
，
，

∴　
　　　 …………………………………4分

数列
是递减数列　　　
　　　
　　　

　 　　　　　　　　　…………………………………5分

令
，

∵　

∴　
是
上的增函数，

∴　
，即
， ……………………………………7分

故
，

∴
是递减数列． …………………………………