长春市普通高中2016届高三质量监测（二）

数学理科（试卷类型C）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）

1. 复数
，
在复平面内对应的点关于直线
对称，且
，则

A.
B.
C.
D.

2. 设集合
，
，则

A.
　　 B.
C.
D.

3. 运行如图所示的程序框图，则输出的
值为



A.
　　B.
C.
　D.

4. 若实数
且
，则下列不等式恒成立的是

A.
　B.
C.
D.

5. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.
　　B.
C.
　D.

6. 已知变量
服从正态分布
，下列概率与
相等的是

A.　
B.
C.　
D.

7. 已知
为圆

的直径，点
为直线
上任意一点，则
的最小值为

A.　　
B.
C.
　 D.

8. 设等差数列
的前
项和为
，
且
，当
取最大值时，
的值为

A.
　　 B.
C.
D.

9. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有 种.

A.
B.
C.
D.

10. 函数
与
的图象关于直线
对称，则
可能是

A.
　　 B.
C.
　 D.

11. 已知函数
满足
，当
时，
，当
时，
，若定义在
上的函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围是

A.
　 B.
C.
D.

12.过双曲线
的右支上一点
，分别向圆
和圆

作切线，切点分别为
,则
的最小值为

A.
　　 B.
C.
　 D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13. 已知实数
满足
，则
的最小值为___________.

14. 已知向量
，
，则当
时，
的取值范围是___________.

15. 已知
，
展开式的常数项为15，则
___________.

16. 已知数列
中，对任意的
若满足
（
为常数），则称该数列为
阶等和数列，其中
为
阶公和；若满足
（
为常数），则称该数列为
阶等积数列，其中
为
阶公积.已知数列
为首项为
的
阶等和数列，且满足
；数列
为公积为
的
阶等积数列，且
，设
为数列
的前
项和，则
___________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求函数
的最小正周期和单调减区间；

(2) 已知
的三个内角
的对边分别为
，其中
，若锐角
满足
，且
，求
的面积.

18. （本小题满分12分）

近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.

(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量
：

①求对商品和服务全好评的次数
的分布列（概率用组合数算式表示）；

②求
的数学期望和方差.

（
，其中
）

19. （本小题满分12分）

在四棱锥
中，底面
是菱形，
⊥平面
，点
为棱
的中点，过
作与平面
平行的平面与棱
，
，
相交于
，
，
，
.

（1）证明：
为
的中点；

（2）若
，且二面角
的大小为
，
、
的交点为
，连接
.求三棱锥
外接球的体积.

20. （本小题满分12分）

椭圆
的左右焦点分别为
，
,且离心率为
,点
为椭圆上一动点，
内切圆面积的最大值为
.

(1)求椭圆的方程;

(2) 设椭圆的左顶点为
,过右焦点
的直线
与椭圆相交于
,
两点，连结
,
并延长交直线
分别于
，
两点，以
为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.

21. （本小题满分12分）

已知函数
在点
处的切线与直线
平行.

（1）求实数
的值及
的极值；

（2）若对任意
，

，有
，求实数
的取值范围；

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.

如图，过圆
外一点
的作圆
的切线
，
为切点，过
的中点
的直线交圆
于
、
两点，连接
并延长交圆
于点
，连接
交圆
于点
，若
.

（1）求证：
∽
；

(2) 求证：四边形
是平行四边形.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
是参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（1）求曲线
的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

（2）若曲线
与曲线
交于
,
两点，求
的最大值和最小值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.

设函数
.

(1)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

(2) 若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

长春市普通高中2016届高三质量监测（二）

数学(理科)参考答案及评分参考

A、B卷客观题答案

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C

7. B 8. A 9. A 10. C 11. B 12. D

简答与提示：

【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.

【试题解析】C 由题意可知
，则
，所以
. 故选C.

【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.

【试题解析】D 复数
在复平面内关于直线
对称的点表示的复数
，所以
. 故选D.

【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识.

【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知：当
时，
为正确选项，故选C.

【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题.

【试题解析】A 由算法流程图可知，输出结果是首项为
，公比也为
的等比数列的前9项和，即为
. 故选A.

【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识.

【试题解析】B 由变量
服从正态分布
可知，
为其密度曲线的对称轴，因此
. 故选B.

【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.

【试题解析】C　该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为
. 故选C.

【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前
项的取值来确定项数，属于基础题.

【试题解析】B　由题意，不妨设
，
，则公差
，其中
，因此
，