长春市十一高中2016高考仿真模拟考试

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知复数
，
，则
，
；若复数
，那么
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知
，则“
”是“直线
与
平行”的( )

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4.现有
门不同的考试要安排在
天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（ ）种

A.
B.
C.
D.

5.函数
的最小正周期与奇偶性分别是（ ）

A．
，奇函数 B．
，奇函数 C．
，偶函数 D．
，偶函数

6.数列
满足
，
，
，
是其前
项和，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A．
B．

C．
D．

8.对两个变量
与
进行回归分析，得到一组样本数据：
，
，
，则下列不正确的说法是（ ）

A. 若求得相关系数
，则
与
具备很强的线性相关关系，且为负相关

B. 同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和
，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和
，则模型1的拟合效果更好

C.用相关指数
来刻画回归效果，模型1的相关指数
，模型2的相关指数
，则模型1的拟合效果更好

D. 该回归分析只对被调查样本的总体适用

9.在
中，若
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知
满足不等式组
， 关于目标函数
最值的说法正确的是（ ）

A. 最小值
，最大值
B. 最小值
，最大值

C. 最小值
，最大值
D. 最小值
，最大值

11.过双曲线
（
）上一点
作圆
的两条切线
，切点为
，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，若关于
的方程
有六个不同的实根，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.如图给出了一个程序框图，其作用是输入
的值，输出相应的
值，若要使输入的
值与输出的
值相等，则这样的
值组成的集合为 .

14.已知
，则二项式
展开式中的常数项是 .（填数值）

15.正三角形
的边长为
，将它沿高
翻折，使点
与点
间的距离为
，此时四面体
外接球表面积为__________ .

16.已知函数
，
，若存在常数
，对
，
唯一的
，使得
，则称常数
是函数
在
上的“倍几何平均数”.已知函数
，
，则
在
上的“倍几何平均数”是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列
中，
，
， 设
，
为数列
的前
项和.

（1）求
；

（2）证明数列
是等比数列；

（3）求
.

18.（本小题满分12分）

甲乙两个生物小组分别独立开展对某生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为
，乙组能使生物成活的概率为
，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.

（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.

（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.

（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为
，求
的数学期望.

19.（本小题满分12分）

直角梯形
中，
∥
，
，
，
分别是边
上的点（不是端点），且
，如图1所示；现沿
把直角梯形
折成一个
的二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.

（1）求证：
∥平面
；

（2）当四棱锥
体积最大时，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．

（1）求椭圆C方程；

（2）设不过原点
的直线
：
，与该椭圆交于
两点，直线
的斜率依次为
，满足
，试问：当
变化时，
是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，

（1）当
时，讨论函数
的单调性；

（2）是否存在实数
，对于任意
，且
，有
恒成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲

如图，直线
经过⊙O上一点
，且
，

⊙O交直线
于
.

（1）求证：直线
是⊙O的切线；

（2）若
，⊙O的半径为
，求
的长.

23.（本题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，设倾斜角为
的直线：
，（
为参数）与曲线
（
为参数）相交于不同的两点
．以
为极点，
正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系.

（1）求曲线
的极坐标方程；

（2）若
，求线段
的长度．

24.（本题满分10分） 选修4－5：不等式选讲

已知
，

（1）当
时，解不等式：
；

（2）若
的图像与
轴围成的图形的面积为
，求
的值.

长春市十一高中2016高考仿真模拟考试数学试题答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

C

C

A

B

A

C

A

B

C

D



二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.
14.
15.
16.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1）由递推关系：
，
；

，
.

（2）由条件

所以数列
是首项为
，公比
的等比数列.

（3）由（2）知：

所以：

18.解：（1）甲小组做了三次实验，至少两次成功的概率

（2）乙小组在4次成功前，共进行了6次实验，其中3次成功，3次失败，且恰好有两次连续失败，其中各种可能情况数为
，因此所求概率

（3）由题意

故
的分布列为：

0

1

2

3

4

















所以：

19.试题解析：

（Ⅰ）证明：在图2中，
∥
，
∥
，
平面
，
平面
，

且
，由面面平行判断定理的推论得：平面
∥平面
，又
平面
，

所以
∥平面

（Ⅱ）过
作
平面
，由条件，以
为原点，
分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系.

设
，
，则
，

当且仅当
，即
时，四棱锥
体积最大.

此时：
，

设平面
的一个法向量
，则：

，取
，则
，所以

平面
的法向量为
，所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为：

.

20.解析：（1）依题意
，解得：
，所以C的方程为：

（2）当k变化时，
是定值，由
消去
得：

由
得：

设