四川省2016届高三预测金卷

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（　　）

A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}

2．已知复数z满足（3+4i）z=25，则
=（　　）

A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i

3. 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
，则正视图中的x的值是（　　）

A．2 B．
C．
D．3

5．已知P（x，y）为区域
内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（　　）

A．6 B．0 C．2 D．2

6．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则
展开式中x﹣3的系数为（　　）

A．4320 B．﹣4320 C．20 D．﹣20

7．已知
，则方程
的根的个数是（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

8. 已知
，若圆
：
，圆
：
恒有公共点，则
的取值范围为（ ）.

A．
B．
C．
D．

9．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（　　）

A．720 B．270 C．390 D．300

10. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线交双曲线于
两点且
，若
，
，则双曲线离心率
的取值范围为（ ）.

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（
﹣2）7的展开式中，x2的系数是　　　　　　．

12. 已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
.

13．设α为锐角，
=（cosα，sinα），
=（1，﹣1）且
?
=
，则sin（α+
）=　 　．

14．若点p（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为　

15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为　　　　　　．

①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；

②对?x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；

③若实数x，y满足x2+y2=1，则
的最大值为
；

④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．

⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且
?
=5，则△ABC的形状是直角三角形．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）已知在
中，角
所对的边分别为
且

.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ) 若
，
的面积为
，求
.

17. (本题满分12分) 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=
n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．

18．(本题满分12分)如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．

（I）求AM的长；

（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．

19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为
，
，
，且各轮考核通过与否相互独立。（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为
，求
的分布列和数学期望。

20（本小题13分）

在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在
轴上滑动，点M在线段AB上，且
,

（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；

（2）过点
的直线
与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求
面积的最大值。

21. （14分）已知函数
，其中m，a均为实数．

（1）求
的极值； 3分

（2）设
，若对任意的

，
恒成立，求
的最小值； 5分

（3）设
，若对任意给定的
，在区间
上总存在
，使得
成立，求
的取值范围． 6分

数学参考答案及评分意见（理工类）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

1、【答案】B

解析：解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤2，x∈Z，即A={﹣1，0，1，2}，

∵B={x|﹣2＜x＜2}，

∴A∩B={﹣1，0，1}，

2、【答案】B

解析：∵（3+4i）z=25，z=
=
=3﹣4i．

∴
=3+4i．

故选：B．

3、【答案】A

解析：模拟执行程序框图，可得

S=0，n=0

满足条，0≤k，S=3，n=1

满足条件1≤k，S=7，n=2

满足条件2≤k，S=13，n=3

满足条件3≤k，S=23，n=4

满足条件4≤k，S=41，n=5

满足条件5≤k，S=75，n=6

…

若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，

则输入的整数k的最大值为4．

故选：

4、【答案】C

解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．

则体积为
=
，解得x=
．

故选：C．

5、【答案】A

解析：解：由
作出可行域如图，

由图可得A（a，﹣a），B（a，a），

由
，得a=2．

∴A（2，﹣2），

化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，

∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．

故选：A．

6、【答案】B

解析：解：487=（49﹣1）7=
﹣
+…+
﹣1，

∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），

∴a=6，

∴
展开式的通项为Tr+1=
，

令6﹣3r=﹣3，可得r=3，

∴
展开式中x﹣3的系数为
=﹣4320，

故选：B．.

7、【答案】C

【解析】由
，设f(A)=2,则f(x)=A,则
，则A=4或A=
，作出f(x)的图像，由数型结合，当A=
时3个根，A=4时有两个交点，所以
的根的个数是5个。

8、【答案】C

【解析】由已知，圆
的标准方程为
，圆
的标准方程为

，∵
，要使两圆恒有公共点，则
，即
，解得
或
，故答案选C

.9、【答案】C

解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．

各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，

首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；

所求方案有：
+
+
=390．

故选：C．

10、【答案】C

【解析】如图，由双曲线的定义知，
，
，两式相加得

，又
，
，
，

，
①，

②，在
中，
，将①②代入得

，化简得：

，令
，易知
在
上单调递减，故

，

，
，故答案 选C.

11、【答案】﹣280

解：∵（
﹣2）7的展开式的通项为
=
．

由
，得r=3．

∴x2的系数是
．

故答案为：﹣280．

12. 【答案】 36

解：由等差数列的性质及已知可得
，
又
，
，答案应填：36.

13．【答案】：
．

解：∵
?
=cosα﹣sinα=
，

∴1﹣sin2α=
，得sin2α=
，

∵α为锐角，cosα﹣sinα=
?α∈（0，
），从而cos2α取正值，

∴cos2α=
=
，

∵α为锐角，sin（α+
）＞0，

∴sin（α+
）=
=
=
=
．

故答案为：
．

14．【答案】：2x﹣y﹣1=0

解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，

∴圆心与点P确定的直线斜率为
=﹣
，

∴弦MN所在直线的斜率为2，

则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．

故答案为：2x﹣y﹣1=0

15. 【答案】：①②③

解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；

对于②对?x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；

对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则
=
，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为
，③正确；

对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，

即π﹣A﹣B＜
，即A+B＞
，B＞
﹣A，

则cosB＜cos（
﹣A），

即cosB＜sinA，故④不正确．

对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，

取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=
AD，

∵
=
|，

由

则

，

即

则

又BC=5

则有

由余弦定理可得cosC＜0，

即有C为钝角．

则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．

故答案为：①②③

16、解：(Ⅰ)由正弦定理及已知条件有
， 即
. 3分

由余弦定理得：
，又
，故
. 6分

(Ⅱ)

的面积为
，
，
①， 8分

又由(Ⅰ)
及
得
，② 10分

由 ①②解得
或
. 12分

17解：（1）∵an+1=2an+1，

∴an+1+1=2（an+1），

又∵a1=1，

∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，

∴an+1=2n，

∴an=﹣1+2n； 6分

（2）由（1）可知bn=
n（an+1）=
n?2n=n?2n﹣1，

∴Tn=1?20+2?2+…+n?2n﹣1，

2Tn=1?2+2?22…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n，

错位相减得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n?2n

=
﹣n?2n

=﹣1﹣（n﹣1）?2n，

于是Tn=1+（n﹣1）?2n．

则所求和为
6分

18．解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，

∴
； 3分

（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，

以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，

可得
，

∴
，
，5分

设
为面BCE的法向量，由
可得
=（1，2，﹣
），

∴cos＜
，
＞=
=
，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为
4分

19、（1）
（2）
的分布列为

数学期望为
--

解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P(A)＝

所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
-------------4分

（2）
的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

，
，

------------------9分

所以，
的分布列为

数学期望为
---------------------12分

20解：（1）由题知
，设

有
代入
得
，

所以曲线C的方程是
…………..4分

（2）当直线的斜率不存在时，即
，此时
……..5分

当直线的斜率存在时，设
，

联立
，有

……………..7分

由题知过N的直线

，且
与椭圆切于N点时，
最大，故设

联立
与椭圆方程得