吉林市普通中学2015—2016学年度高中毕业班第四次调研测试

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2. 在复平面内，复数
所对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 已知
且
，则函数
与函数
的图象可能是

A. B. C. D.

4. 若变量
满足约束条件
则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

5. 过抛物线
的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标

之和为
，则

A．
B．
C．
D．

6. 已知函数
，则

A．2014 B． 2015 C．2016 D．2017

7. 已知实数
，执行如

图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为

A．

B．

C．

D．

8. 把函数
的图象向左平
个单位，得到一个偶函

数，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

9. 下列命题正确的个数是

① 对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有

关系”的把握程度越大；

② 在相关关系中，若用
拟合时的相关指数为
，用
拟合时的

相关指数为
，且


,则
的拟合效果好；

③ 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数
，则事件“
”发生的概率为
；

④ “
”是“
”的充分不必要条件.

A．
B．
C．
D.

10. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几

何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似

两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其

直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同

时，它的正视图和俯视图分别可能是

A．
B．
C．
D．

11. 已知
，
，且
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
，
，若对任意
，存在

使
，则实数a的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

13. 已知
，
，
，若
，则

14. 2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生

育二孩意愿的调查活动。已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以

下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人。为了了解不同年

龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取

了一个容量为
的样本进行调查，已知从30至40岁的女性中抽取的人数为60人，

则

15. 六棱柱
的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长

等于底面边长，则直线
与
所成角的余弦植为

16. 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若
，且△ABC

的面积
，则B=

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列
中，
，
，
，
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）数列
满足
，设其前n项和为
，求证：
.

18.（本小题满分12分）

某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：

售出水量
（单位：箱）

7

6

6

5

6



收益
（单位：元）

165

142

148

125

150



（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）预测售出8箱水的收益是多少元？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，
，

参考数据：

19.（本小题满分12分）

在四棱锥
中，
平面
，底面
为梯形，
，
，
，
，
为
中点.

（Ⅰ）求证：平面PAE
平面PCD;

（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
，点
在椭圆C上.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能

在直线
上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足
？ 若存在，

求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分12分）

设函数
.

（Ⅰ）求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）证明：
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

已知在△
中，
为
的平分线，以
为圆心，
为半径的半圆交
的延长线于点
，交
于点
，交
于点
，且
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
的余弦值.

23. (本小题满分10分)选修4—4坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为:

（
为参数），点
的极坐标为
，设直线
与曲线
相交于
两点.

(Ⅰ) 写出曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程 ；

(Ⅱ) 求
的值.

24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）解不等式:
；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
．

命题、校对：马辉 佟博 李大博 孙长青

吉林市普通中学2015—2016学年度高中毕业班第四次调研测试

数学(文科)参考答案及评分标准

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：每小题5分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

C

D

B

A

D

C

A

A

B



二、填空题：每小题5分

13.
14. 200 15.
16.

三、解答题

17.解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为

由已知得
------------------------------------------------------------------2分

即
，又
，
，故
---------------4分

从而

数列
的通项公式
------------------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
故

------------------------------------------------------------------8分

， ------------------------------------------------------------------10分

又
，因此

故
-------------------------------------------------------------------------- 12分

18.解：（Ⅰ） 由所给数据计算得

--------------------------------3分

所求回归直线方程为
-------------------------------------8分

（Ⅱ）将
代入回归方程可预测售出8箱水的收益为

（元） --------------------------------------------------------12分

19.解：（Ⅰ）连结AC，
，
,

可得
,所以
,又E为CD的中点，

所以
, ------------------------------------------2分

因为
平面ABCD，
平面ABCD

所以
，又
故
平面PAE， ----------------------------5分

而
平面PCD, 故平面PAE
平面PCD -----------6分

（Ⅱ）方法一：作
于
，

由（Ⅰ）可知，
平面

所以

又
， 故
平面

为点
到平面
的距离 ----------------------------9分

由
,
,
,

可得
因此
，所以

又
平面
所以

而
因此
所以

故A到平面PCD的距离为
--------------------------------------------------------12分

方法二：由
,
,
,

可得
因此