吉林省东北师范大学附属中学2016届高三第六次模拟考试

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知复数
为纯虚数，那么实数

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知命题
：“
”，命题
：“直线
与直线
互相垂直”，则命题
是命题
的

（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C） 充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约

（A）134石 （B） 169石 （C） 192石 （D）338石

（5）执行右边的程序框图，若输出
，则输入
的值为

（A）2

（B）3

（C）4

（D）5

（6）若
展开式中含有常数项，则
的最小值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）一个多面体的三视图如右图所示，正视图为等腰直角三角形，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该多面体的表面积为

（A）2 （B）

（C）
（D）

（8）已知
是
与
的等比中项，若
则
有

(A)最小值10 (B)最小值
(C)最大值10 (D)最大值

（9）在
中，
，
，
为线段
的三等分点，则
＝

（A）
　　 （B）
　　　 （C）
　　　（D）

（10）已知点
是双曲线
的一个焦点，过点
且斜率为
的直线
与圆
相切，则双曲线的离心率为

(A)
(B)
(C) 2 (D) 3

（11）如图，棱长为1的正方体
中，
为线段
上的动点，则下列结论正确的有

三棱锥
的体积为定值 


的最大值为90° 
的最小值为2

(A)  (B) 

(C)  (D) 

（12）已知曲线
:
上一点
，曲线
:

上一点
，当
时，对于任意
，都有
恒成立，则
的最小值为

(A)1 (B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

（13）已知实数
满足约束条件
，则
的最大值为 .

（14）已知抛物线
，过焦点
，且倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限交于点
， 若
，则抛物线方程为 .

（15）将函数
的图像向右平移
个单位后得到函数
的图像，则由函数
与
的图像所围成的封闭图形的面积为 .

（16）已知各项均为正数的数列
满足
，若
，则
.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知
的内角
的对边分别为
，

且满足

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
的面积为
，且
求
的值.

(18 )(本小题满分12分)

2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：

生二胎

不生二胎

合计



70后

30

15

45



80后

45

10

55



合计

75

25

100



（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且视频率为概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；

（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．

参考公式：
，其中
.

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879





（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.

（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆的一个顶点，直线
交椭圆于
（异于点
）两点，
．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）求△
面积的最大值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
，其中
为非零实数.

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）若
有两个极值点
，且
，求证：
.（参考数据：
）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，自圆
外一点
引圆
的切线，切点为
，
为
的中点，过点
引圆的割线交圆
于
，
两点，且
，
，
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）记△
和
的面积分别为

和
，求
．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数），曲线
．

（Ⅰ）在以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求
的极坐标方程；

（Ⅱ）射线
与
的异于极点的交点为
，与
的交点为
，求
．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）若不等式
的解集为
，求实数
的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
，使得
，求实数
的取值范围．

参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

A

C

B

B

D

B

C

C

A

C



二、填空题

13. 6 ；14.
；15. 2 ；16.
．

三、解答题

17. 解析：（Ⅰ）∵
，

∴
，

∴
，

∴
，由正弦定理得
，∴
.

（Ⅱ）∵
∴
，
，

所以
，
，

当
时，

∴
，∴
.

当
时，

∴
，∴
.

故
或

18. 解：（Ⅰ）由已知得70后“生二胎”的概率为
，并且
～
，………1分

所以

，其分布列如下

0

1

2

3















所以，
．

（Ⅱ）

，

所以有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关” ．

19. （Ⅰ）证明　如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN.

在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，

所以QN∥AD，且QN＝AD.

在△APD中，PA＝2，PD＝2，PA⊥PD，

所以AD＝＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.

又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，

故四边形BCQN为平行四边形，所以BN∥CQ.

又BN?平面PAB，且CQ
平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.

（Ⅱ）如图，取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO.

由(1)知PA＝AM＝PM＝2,

所以△APM为等边三角形，

所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.

因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.

如图，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(0,3,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，

则＝(，3,0).

因为Q为DP的中点，故Q，所以＝.

设平面AQC的法向量为m＝(x，y，z)，

则可得

令y＝－，则x＝3，z＝5. 故平面AQC的一个法向量为m＝(3，－，5).

设直线PD与平面AQC所成角为θ.

则sinθ= |cos〈
，m〉|＝
＝
.

从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为
.

20. 解：（Ⅰ）依题意
，解得
，所以椭圆方程为
．

（Ⅱ）【方法1】设
代入
得
，

由
，得
，

，

，

，

整理得
，
或
（舍）．

直线
过定点
，

此时
．

△
面积的最大值为
．

解法2：

设