北京市西城区2016年高三二模试卷

数 学（理科） 2016.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 设全集
，集合
，
，则集合
（ ）

（A）

（B）



 （C）

（D）





2. 若复数
满足
，则在复平面内
对应的点位于（ ）

（A）第一象限

（B）第二象限



 （C）第三象限

（D）第四象限





3. 在
ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
，
，
，则

（ ）

（A）

（B）



 （C）

（D）





4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）

（A）2

（B）

（C）

（D）

5. “
成等差数列”是“
”的（ ）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



 （C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





6. 某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费
(元) 满足关系
已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：

月份

用气量

煤气费



一月份

4 m3

4 元



二月份

25 m3

14元



三月份

35 m3

19 元



 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为（ ）

（A）11.5元

（B）11元



 （C）10.5元

（D）10元





7. 如图，点A，B在函数
的图象上，点C在函数
的图象上，若
为等边三角形，且直线
轴，设点
的坐标为
，则
（ ）

（A） 2

（B） 3

（C）

（D）

8. 设直线
：
，圆
，若在圆C上存在两点
，在直线
上存在一点M，使得
，则
的取值范围是（ ）

（A）

（B）



 （C）

（D）



第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 在
的展开式中，常数项等于____.

10. 设
，
满足约束条件
则
的最大值是____.

11. 执行如图所示的程序框图，输出的
值为______.

12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为
，则其离心率为____；若点
在C上，则双曲线C的方程为____.

13. 如图, △
为圆内接三角形，
为圆的弦，且
. 过点
做圆的切线与
的延长线交于点
，
与
交于点
. 若
，
，则
_____；
_____.

14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影. 已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这10部微电影中，最多可能有____部优秀影片.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）若
是第二象限角，且
，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的定义域和值域.

16．（本小题满分13分）

某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：
，
，
，
，
，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）写出
的值；

（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；

（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.

17．（本小题满分14分）

如图，正方形
的边长为4，
分别为
的中点. 将正方形
沿着线段
折起，使得
. 设
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）设
分别为线段
上一点，且
平面
，求线段
长度的最小值.

18．（本小题满分13分）

设
，函数
．

（Ⅰ）若函数
在
处的切线与直线
平行，求a的值；

（Ⅱ）若对于定义域内的任意
，总存在
使得
，求a的取值范围.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线l与椭圆
相交于
两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段
为直径的圆内，求m的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知任意的正整数
都可唯一表示为
，其中
，
，
．

对于
，数列
满足：当
中有偶数个1时，
；否则
．如数5可以唯一表示为
，则
．

（Ⅰ）写出数列
的前8项；

（Ⅱ）求证：数列
中连续为1的项不超过2项；

（Ⅲ）记数列
的前
项和为
，求满足
的所有
的值．（结论不要求证明）

北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科） 2016.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．A 3．B 4．C

5．A 6．A 7．D 8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．160 10．

11．
12．

13．

14．10

注：第12，13题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
是第二象限角，且
，

所以
. ………………2分

所以
， ………………4分

所以
. ………………6分

（Ⅱ）解：函数
的定义域为
，且
. ………………8分

化简，得

………………10分

， ………………12分

因为
，且
，
，

所以
，

所以
.

所以函数
的值域为
. ………………13分

（注：或许有人会认为“因为
，所以
”，其实不然，因为
.）

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
. ………………3分

（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分

因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为
，

所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有
人，

………………6分

同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为
，学生人数约有
人.

所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有
人.

………………8分

（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为
，样本人数为
人.

同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为
人.

故X的可能取值为1，2，3. ………………9分

则
，
，
.

所以
的分布列为：

1

2

3













 ……………… 12分

所以
. ………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为正方形
中，
分别为
的中点，

所以
，
，

又因为
，

所以
平面
. ………………2分

又因为
平面
，

所以
. ………………4分

（Ⅱ）解：因为
，
，
，

所以
为等边三角形，且
.

又因为
，
，

所以
平面
. ………………5分

设
的中点为
，连接
，则
两两垂直，故以
分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
，

所以
,
，
. ………………6分

设平面
的一个法向量为
，

由
，
，得

令
，得
. ………………7分

设直线
与平面
所成角为
，

则
.

即直线
与平面
所成角的正弦值为
. ………………9