顺义区2016届高三第一次统练

数 学 试 卷（理科） 2016.3

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.设
为虚数单位，则
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）

（A）
（B）

（C）
（D)

4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ( )

（A）15

（B）21

（C）24

（D） 35

5.已知向量
，
，其中
.则“
”是“
”成立的 （ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

直线
：
（
为参数）与圆
：
（
为参数）

的位置关系是 ( )

（A） 相离 （B） 相切 （C) 相交且过圆心 （D）相交但不过圆心

7.在平面直角坐标系中，若不等式组
（
为常数）表示的区域面积等于
， 则
的值为 ( )

（B）
（C）
（D）

如图，已知平面


=
，
.
是直线
上的两点，

是平面
内的两点，且

，

，

，
.
是平面
上的一动点，

且有
，则四棱锥
体积的

最大值是 （ ）

（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

填空题共6小题，每小题5分，共30分.

的展开式中
的系数为（用数字作答).

抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为

11.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位:
）.

12.已知函数
则

的最小值为 ．

13.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔
小时各服一次药，每次一片，每片
毫克．假设该患者的肾脏每
小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的
，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过
毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午
点第一次服药，则第二天上午
点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）.

14..设
是空间中给定的
个不同的点，则使
成立的点
的个数有个.

三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）若
，求函数
的单调递增区间.

（本小题满分13分）

在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了
两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题
可获得
分，答对问题
可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题.答题终止后，获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对
问题的概率分别为
.

（Ⅰ）记甲先回答问题
再回答问题
得分为随机变量
，求
的分布列和数学期望；

（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由.

（本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中，等边
所在的平面与正方形
所在的平面互相垂直,
为
的中点，
为
的中点，且

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使线段
与
所在平面成
角.若存在，

求出
的长,若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）设
，若函数
在
上(这里
）恰有两个不同的零点,求实数
的取值范围.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆


的离心率
，且点
在椭圆
上.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

(Ⅱ)直线
与椭圆
交于
、
两点，且线段
的垂直平分线经过点
.

求
（
为坐标原点)面积的最大值.

20.（本小题满分14分）

在数列
中，
，
，其中
，
.

（Ⅰ）当
时，求
的值；

（Ⅱ）是否存在实数
，使
构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；

（Ⅲ）当
时，证明：存在
，使得
.

顺义区2016届高三第一次统练数学试卷 （理科）

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. C ； 2. B； 3. B； 4. C； 5. A； 6. D； 7. B ； 8 . A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.
; 10.
; 11.
; 12.
； 13.
, 无. 14.
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知

【3分】

【6分】

当
，即
，
时，
【7分】

（Ⅱ)
当
时，
递增 【9分】

即
， 令
，且注意到

函数
的递增区间为
【13分】

（本小题满分13分）

（Ⅰ）
的可能取值为
. 【2分】

，

，

【5分】

分布列为：




















. 【7分】

（Ⅱ）设先回答问题
，再回答问题
得分为随机变量
，则
的可能取值为
.

，

，

， 【10分】

分布列为：




















. 【12分】

应先回答
所得分的期望值较高. 【13分】

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

是等边三角形，
为
的中点,

平面
平面
，
是交线，
平面

平面
. 【4分】

（Ⅱ）取
的中点
，
底面
是正方形，