试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：宋宇宾 审题人：朱铁军

注意事项：

1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；

2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；

3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）已知
则
（D）

（A）
（B）

（C）
或
（D）
或

（2）已知复数
，则复数在复平面内对应的点在（D）

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（3）在等差数列
中，
则
（B）

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）下列说法中正确的是（D）

（A）“
”是“函数
是奇函数”的充要条件

（B）若
，则

（C）若
为假命题，则
，
均为假命题

（D）命题“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

（5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（B）

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是（C）

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）
（B）

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）设
满足约束条件
则
的最大值（A）

（A）
（B）2 （C）
（D）

（9）已知
是椭圆
的左、右焦点，过
且垂直于
轴的直线与椭圆交于

两点，若
是锐角三角形，则该椭圆离心率
的取值范围是（C）

（A）
（B）

（C）
（D）

（10）一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，

其三视图如图所示，则该几何体的体积是（B）

（A）

（B）

（C）

（D）

（11）一个五位自然数
，当且仅当

时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个

数为（D）

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）已知
为正实数，直线
与曲线
相切，则
的取值范围（A）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）
展开式中的常数项为 .40

（14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
__________.2

（15）已知数列
满足
，则
的最小值为 ．

解析：
，

所以
，设
，

则
在
上单调递增，在
上单调递减，

因为
，所以当
或
时，
有最小值．

又因为
，所以
的最小值为
.

（16）如图，在三棱锥
中，已知
，
，设
，

则
的最小值为 .2

三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知
的内角
的对边分别为
，且满足
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的面积.

解析：（Ⅰ）∵
，∴
，

∴
，∴
，

∴
，∴
，∴
.

（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，∴
.

∴
，即
的面积的
.

（18）（本小题满分12分）

为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.

（Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；

（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为
，求
的分布列和数学期望
.

解析：记第
名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件

.

由题意知
均相互独立.

则

（Ⅰ）3人选择的项目所属类别互异的概率：

（Ⅱ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：

由
.

的分布列为

0

1

2

3















其数学期望为

（19）（本小题满分12分）

如图1，
，
，过动点
作
，垂足
在线段
上且异于点
，连接
，沿
将
折起，使
（如图2所示）．

图1 图2

（Ⅰ）当
的长为多少时，三棱锥
的体积最大；

（Ⅱ）当三棱锥
的体积最大时，设点
分别为棱
的中点，试在棱
上确定一点
，使得
，并求
与平面
所成角的大小．

解析：（Ⅰ）方法一：在图1所示的
中，设
，则
.

由
，
知，
为等腰直角三角形，所以
.

由折起前
知，折起后(如图2)，
，
，且
.

所以
平面
.又
，所以
.

于是

，

当且仅当
，即
时，等号成立，故当
，即
时，三棱锥
的体积最大．

方法二：同方法一，得
.

令
，由
，且
，解得
.

当
时，
；当
时，
.

所以当
时，
取得最大值．故当
时，三棱锥
的体积最大．

（Ⅱ）方法一：以
为原点，建立如图
所示的空间直角坐标系
.

由（Ⅰ）知，当三棱锥
的体积最大时，
.

于是可得
，
，

且
．设
，则
，因为
等价于
，

解得
，
．所以当
(即
是
的靠近点
的一个四等分点)时，
.

设平面
的一个法向量为
，由
，及
，得

可取
．设
与平面
所成角的大小为
，

则由
，
可得
，即
.

故
与平面
所成角的大小为
.

　　

图a 图b

　　

图c 图d

方法二：由（Ⅰ）知，当三棱锥
的体积最大时，
，

如图b，取
的中点
，连结
，则
．

由（Ⅰ）知
平面
，所以
平面
.

如图c，延长
至
点使得
，连
，则四边形
为正方形，

所以
.取
的中点
，连结
，又
为
的中点，则
，

所以
.因为
平面
，又
平面
，所以
.

又
，所以
平面
.又
平面
，所以
.

因为
当且仅当