北京市西城区2016年高三一模试卷

数 学（理科） 2016.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，集合
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 在平面直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
，则曲线C是（ ）

（A）关于
轴对称的图形 （B）关于
轴对称的图形

（C）关于原点对称的图形 （D）关于直线
对称的图形

3. 如果
是定义在
上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4. 在平面直角坐标系
中，向量
＝(1, 2)，
＝(2, m) ， 若O, A, B三点能构成三角形，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5. 执行如图所示的程序框图，若输入的
分别为0, 1，则输出的
（ ）

（A）4 （B）16 （C）27 （D）36

6. 设
，则“
”是“
”的（ ）

（A）充分而不必要条件 B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7. 设函数
（
，
，
是常数，
，
），且函数
的部分图象如图所示，则有（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

8. 如图，在棱长为
的正四面体
中，点
分别在棱
,
,
上，且平面
平面
，
为
内一点，记三棱锥
的体积为V，设
，对于函数
，则（ ）

（A）当
时，函数
取到最大值 （B）函数
在
上是减函数

（C）函数
的图象关于直线
对称

（D）存在
，使得
（其中
为四面体
的体积）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 在复平面内，复数
与
对应的点关于虚轴对称，且
，则
____.

10．已知等差数列
的公差
，
，
，则
____；记
的前
项和为
，则
的最小值为____.

11．若圆
与双曲线C：
的渐近线相切，则
_____；双曲线C的渐近线方程是____.

12. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是____.

13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A, B, C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A, B项目，乙不能参加B, C项目，那么共有____种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）

14. 一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．

（图1） （图2）

根据图1，有以下四个说法：

 在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加；

 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km；

 大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；

 在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹.

其中，所有正确说法的序号是_____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 设
，
.

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）求
的值.

16．（本小题满分13分）

某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段
，
，
，
，
，
进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在
和
的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在
的概率；

（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为
，且分别在
，
，
三组中，其中
．当数据
的方差
最小时，写出
的值.（结论不要求证明）

（注：
，其中
为数据
的平均数）

17．（本小题满分14分）

如图，四边形
是梯形，
，
，四边形
为矩形，已知
，
，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）设
为线段
上的一个动点（端点除外），判断直线
与直线
能否垂直？并说明理由.

18．（本小题满分13分）

已知函数
，且
.

（Ⅰ）求
的值及
的单调区间；

（Ⅱ）若关于x的方程
存在两不相等个正实数根
，证明：
．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的长轴长为
，
为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程和离心率；

（Ⅱ）设点
，动点
在
轴上，动点
在椭圆
上，且
在y轴的右侧，若
，求四边形
面积的最小值.

20．（本小题满分13分）

设数列
和
的项数均为m，则将数列
和
的距离定义为
.

（Ⅰ）给出数列
和数列
的距离；

（Ⅱ）设
为满足递推关系
的所有数列
的集合，
和
为A中的两个元素，且项数均为m，若
，
，
和
的距离小于
，求m的最大值；

（Ⅲ）记
是所有7项数列
或
的集合，
，且
中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：
中的元素个数小于或等于16.

答案解析

1.【答案】C

【解答】解：由
，解得

∴

又∵

∴

故选：C

2.【答案】A

【解答】解：由

得

表示圆心为
，半径为
的圆

所以曲线
是关于
轴对称的图形．

故选：A

3.【答案】B

【解答】∵
是奇函数，
为奇函数

∴
是偶函数．

故选：B

4.【答案】B

【解答】∵
,
,
三点能构成三角形

∴
与
不共线

又
，

∴

∴

故选：B

5.【答案】D

【解答】

解：由程序框图知，

第1次循环，
,
，
．

第1次循环，
,
，
．

第1次循环，
,

此时
，跳出循环．

输出

故选：D

6.【答案】A

【解析】由
，得

∵
是减函数，
是减函数

∴
是减函数

又∵

∴

∴
．

即“

”等价于“
”

又∵

∴“
”是“
”的充分不必要条件．

故选：A

7.【答案】D

【解答】

解：由函数的图象可知，

∴
.

∴

结合图象知，
在
即
上单调递减，且
关于
对称．

∴

∴

又∵

∴

∴

故选：D

8.【答案】A

【解答】

解：设四棱锥
的高为
，四棱锥
的高为
．

∵面

平面

∴
,

∵

∴
，

∴
，

∴

即

令

令
，得
或

时，
，
单增,

时，
，
单减．

∴当
时，
有最大值，即
有最大值．

故选：A．

二、填空题

9．【答案】

【解答】 ∵复数
与
对应的点关于虚轴对称，且
，

∴
，

∴
．

故答案为
．

10．【答案】
；
．

【解答】设数列
的首项为