试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：吴普林 审题人：刘爽

注意事项：

1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；

2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；

3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）设集合
，则
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）已知等比数列{an}中，
，
，则

（A）3 （B）15 （C）48 （D）63

（3）在区间
上随机取一个数
，使直线
与圆
相交的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）设复数
(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是

（A）|z
|2y

（B）z2x2＋y2

（C）|z
|

（D）|z|
|x|＋|y|

（5）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为

，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出

的a的值分别为

（A）0.2，0.2

（B）0.2，0.8

（C）0.8， 0.2

（D）0.8，0.8

（6）2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，　2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是

（A）茎叶图 （B）分层抽样

（C）独立性检验 （D）回归直线方程

（7）下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）已知一个几何体可切割成一个多面体及一个旋转体的一部分，其三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）

（B）

（C）

（D）

（9）给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（10）将所有正偶数按如下方式进行排列，则2 016位于

第1行：2 4

第2行：6 8 10 12

第3行：14 16 18 20 22 24

第4行：26 28 30 32 34 36 38 40

…… …… ……

（A）第30行 （B）第31行 （C）第32行 （D）第33行

（11）已知四棱锥
的顶点都在球
的球面上，底面
是矩形，

平面
底面
，
为等边三角形，则球面
的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）已知集合
为空集，则实数
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷（主观题90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）若实数x，y满足
则z=3x+2y的最小值是　　　　.

（14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
__________.

（15） 函数
的图象如图所示，
是
的导函数，设

，则
由小到大的关系为　　　　　　.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（16）已知数列{an}满足a11，
．若
，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　　　　　　.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知
的内角
的对边分别为
，且满足
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的面积.

（18）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（19）（本小题满分12分）

已知某中学高三文科班学生共有
人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取
人进行成绩抽样统计，先将
人按
进行编号．

（Ⅰ）如果从第
行第
列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的
个人的编号；（下面摘取了第
行至第
行）

（Ⅱ）抽的
人的数学与地理的水平测试成绩如下表：

人数

数学





优秀

良好

及格



地

理

优秀

7

20

5





良好

9

18

6





及格



4





成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有
人，若在该样本中，数学成绩优秀率为
，求
的值．

（Ⅲ）将
的
表示成有序数对
，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对
的概率．

（20）（本小题满分12分）

已知点
，点
在
轴上，点
在
轴的正半轴上，且满足


，点
在直线
上，且满足
2
=
，

（Ⅰ）当点
在
轴上移动时，求点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过点
作直线
与轨迹
交于
、
两点，线段
的垂直平分线与
轴的交点为
，设线段
的中点为
，且
，求
的值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
，g(x) aln xx(a
0)．

（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；

（Ⅱ）证明：当a > 0时，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1) < f (x2)成立，其中
是自然对数的底数．

请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆
外一点
作一条直线与圆
交于
两点，且
，作直线
与圆
相切于点
，连结
交
于点
，已知圆
的半径为
，
.

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求
的值.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
(
为参数)，以坐标原点为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）把
的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求
与
交点的极坐标（其中
）．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）已知实数
，求证：
.

吉大附中高中部2015-2016学年下学期高三年级第二次模拟考试

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

B

C

C

D

C

C

C

B

A

C

D

B



提示：

（10）第n行的最后一个数为2[n(n＋1)]．

令n＝31，最后一个数为1984．令n＝32，最后一个数为2112．

（11）将四棱锥
补成正三棱柱，则四棱锥
的外接球就是正三棱柱的外接球，容易求得外接球半径
.

（12）
恒成立，∴
，设
，故
.

令
，则
.

①当
时，
，∴
.

②当
时，
，∴

.

③当
时，
，∴

.

综上，取交集得

.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）1 （14）2

（15）
（16）

提示：

（16）易知＝＋1，∴＋1＝2(＋1).

又a1＝1，∴＋1＝(＋1)
＝2n，∴bn＋1＝(n－λ)2n，∴
，

当
时，
也符合，

∴bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)
＝(n－λ＋1)
>0，∴n＋1＞λ，

又n∈N*，∴λ<2.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本题满分12分）

解析：（Ⅰ）∵
，

∴
，

∴
，

∴
，　　　　　　　　　　　　　　　……2分

∴
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

∴
，∴
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……6分

（Ⅱ）∵
，
，∴
，

∴
，∴
.　　　　　　　　　　　　　……10分

∴
，

即
的面积的
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……12分

（18）（本题满分12分）

解析：（Ⅰ）证明：如图，因为三棱柱ABC - A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.　　

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.

又
，因此AE⊥平面B1BCC1.　　　　　　　　　　　　　　　　 ……3分

而AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.　　　　　　　　　　　　　 ……5分

（Ⅱ）设AB的中点为D，连接A1D，CD.

因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.

又三棱柱ABC - A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.

又
，因此CD⊥平面A1ABB1，　　　　　　　　　　　　　　　　　

于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．　　　　　　　　　　　　　……8分

由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝AB＝.

在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，所以FC＝AA1＝.　　　……10分

故三棱锥F - AEC的体积V＝S△AEC·FC＝××＝.　　　　　 　　　……12分

（19）（本题满分12分）

解析：（Ⅰ）依题意，最先检测的3个人的编号依次为
． 　　　……3分

（Ⅱ）由
，得
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……5分

因为
，所以
．　　　　　　　　　　　……7分

（Ⅲ）由题意，知
，且
．

故满足条件的
有：
，

，
共14组．

……9分 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：
，

，
共6组. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……11分

∴数学成绩优