北京市西城区2016年高三二模试卷文科

数 学（） 2016.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 设全集
，集合
，
，则集合
（ ）

（A）

（B）



 （C）

（D）



2. 下列函数中，既是奇函数又在
上单调递减的是（ ）

（A）

（B）



 （C）

（D）



3. 设
，
满足约束条件
则
的最大值是（ ）

（A）

（B）



 （C）

（D）



4．执行如图所示的程序框图，如果输出的
，那么判断框内应填入的条件是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

5. 在
ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
，
，
，则
（ ）

（A）

（B）



 （C）

（D）





6. “
”是“曲线
为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



 （C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



7.某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费
(元) 满足关系
已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：

月份

用气量

煤气费



一月份

4 m3

4 元



二月份

25 m3

14 元



三月份

35 m3

19 元



 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为（ ）

（A）11.5元

（B）11元



 （C）10.5元

（D）10元





8. 设直线
：
，圆
，若在直线
上存在一点M，使得过M的圆C的切线
，
（
为切点）满足
，则
的取值范围是（ ）

（A）

（B）



 （C）

（D）





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知复数
，则在复平面内，z对应点的坐标为_____.

10. 设平面向量
满足
，
，则向量
夹角的余弦值为_____.

11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_____.

12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为
，则其离心率为____；若点
在C上，则双曲线C的方程为____.

13. 设函数
那么
____；若函数
有且只有两个零点，则实数
的取值范围是_____.

14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影. 已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这5部微电影中，最多可能有____部优秀影片.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的定义域和最小正周期；

（Ⅱ）当
时，求函数
的值域.

16．（本小题满分13分）

已知数列
的前n项和
满足
，其中
.

（Ⅰ）求证：数列
为等比数列；

（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和
.

17．（本小题满分14分）

如图，在周长为8的矩形
中，
分别为
的中点. 将矩形
沿着线段
折起，使得
. 设
为
上一点，且满足
平面
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
为线段
的中点；

（Ⅲ）求线段
长度的最小值.

18．（本小题满分13分）

某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：
，
，
，
，
，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）写出
的值；

（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；

（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.

19．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求a的值；

（Ⅱ）设
，若对于定义域内的任意
，总存在
使得
，求a的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知抛物线
：
，过点
的动直线l与
相交于
两点，抛物线
在点A和点B处的切线相交于点Q，直线
与x轴分别相交于点
.

（Ⅰ）写出抛物线
的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：点Q在直线
上；

（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形
为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.