吉林市普通中学2015—2016学年度高中毕业班第三次调研测试

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集
，集合
，

，则右图中的阴影部分表示的集合为

A．
B．

C．
D．

2．复数

A．
B．

C．
D．

3．已知数列
为等差数列，若
成等比数列，且
，则公差

A．0 B．1 C．2 D．4

4．设
是定义在
上的偶函数，则
的解集为

A．
B．

C．
D．

5．下列有关命题的说法错误的是

A．函数
的最小正周期为
；

B．函数
在区间（2，3）内有零点;

C．已知函数
，若
，则
；

D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布
．若ξ在
内

取值的概率为
，则ξ在
内取值的概率为
.

6．运行如图所示的程序框图，则输出
的值为

A.

B.

C.

D.

7．某综艺节目固定有3名男嘉宾，2名女嘉宾．现要求

从中选取3人组成一个娱乐团队，要求男女嘉宾都有，

则不同的组队方案共有多少种

A．9 B．15 C．18 D．21

8．

A．1 B．2 C．3 D．

9． 函数

的图象如图所示，
为图像与
轴的交点，过点

的直线
与函数图象交于
两点．则

A．

B．

C．

D．

10．已知数列
的前
和为
，
．当
时，
，则

A．
B．1006

C．1007 D．1008

11．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
，则椭圆在其上一

点
处的切线方程为
，试运用该性质解决以下问题：

椭圆
，其焦距为2，且过点
．点
为
在

第一象限中的任意一点，过
作
的切线
，
分别与
轴和
轴的正半轴交于

两点，则
面积的最小值为

A．
B．

C．
D．

12．已知
是
上的可导函数，满足
（
）

恒成立，
，若曲线
在点
处的切线为
，且
，

则
等于

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

13．设
，则
　　　　　.

14．已知
满足
，则
的最大值为　　　　　.

15．三棱锥
的直观图及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱
的长

为　　　　.

16．如图，四边形
是三个全等的菱形，

，设
已知点
在各菱形边上运动，且
，

，则
的最大值为　　　　　.

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在
中，
分别为内角
的对边，且
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）设函数
，当
取最大值时，判断
的形

状．

18．（本小题满分12分）

吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有
人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为
，
，
，
，
，
，
等七组，其频率分布直方图如下图所示．已知
之间的参加者有8人．

（Ⅰ）求
和
之间的参加者人数
；

（Ⅱ）已知
和
两组各有
名数学教师，现从这两个组中各选取
人担任

接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有
名数学教师的

概率；

（Ⅲ）组织者从
之间的参加者（其中共有
名女教师，其余全为男教师）中随机

选取
名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为
，求
的分布列和数学期望

．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为
的正方形，平面

平面
，

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小；

（Ⅲ）若点
是线段
的中点，请问在线段

上是否存在点
，使得
∥面
？若

存在，请说明点
的位置；若不存在，请说

明理由.

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
的方程为
，点
在抛物线
上．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）过点
作直线交抛物线
于不同于
的两点
.若直线
分别交直

线
于
两点，求
最小时直线
的方程．

21．（本小题满分12分）

设
，曲线
在点
处的切线与直线

垂直．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）求证：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在
中，
于
，
于
，
交
于点
，若
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求线段
的长度．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数），且曲线
上的点
对应的参数
，以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线
与曲线
交于点
．

（Ⅰ）求曲线
的普通方程，
的极坐标方程；

（Ⅱ）若

是曲线
上的两点，求
的值．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）设
为正实数，且
，求证：
．

命题、校对：赵玉南 王锐 曹阳 王海滨 孙长青

吉林市普通中学2015—2016学年度高中毕业班第三次调研测试

数学（理科）参考答案与评分标准

1．选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

A

D

C

B

A

D

D

D

B

C



2．填空题

13．3 14．7 15．
16．4

3．解答题

17．（Ⅰ）解：在
中，根据余弦定理：
……2分　

而
，所以
……4分　 　　　　 　　　　　　　　　

（Ⅱ）解：

所以
……6分

即
，则
， ……8分

因为
……9分

所以当
，即
时 ……11分

取最大值，此时易知道
是直角三角形. ……12 分

18．（Ⅰ）解：

设频率分布直方图中7个组的频率分别为
，
，所以
……2分

由题意
，而

所以，
之间的志愿者人数
人 ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
之间有
人

设从
之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件
；从
之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件
，因为两组的选择互不影响，为相互独立事件

所以
……6分

之间共有
人，其中4名女教师，2名男教师，从中选取3人，则女教师的数量为
的取值可为1,2,3 ……8分

所以
；
；
…10分

所以分布列为





















的数学期望为
， ……12分

19．（Ⅰ）因为四边形