2016年玉溪一中高三第一次校统测试题

理 科 数 学

（考试时间120分钟 满分150分）

第Ⅱ卷（客观题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设
，则B的元素个数是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．无数个

2．已知复数
是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m的值为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3．在等比数列
中，
是方程
的根，则
的值为( )

A．
B．4 C．
D．

4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何

体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟

合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当

其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )

A B C D

5.若
的展开式中
项的系数为20,则
的最小值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.如图,正弦曲线
和余弦曲线
在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且
，
，
，则
等于( )

A．16 B．8 C．4 D．2

8.执行如右图所示的程序框图,若
,取
，则输出的值为（ ）

A.
B.

C.
D.

9．已知函数
=2cos(
+
)
图象

的一个对称中心为(2，0)，直线
是图象的

任意两条对称轴,且
的最小值3，且

要得到函数
的图象可将函数y=2cos
的图象( )

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

10．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为(　 　)

A. B. C. D.

11．如图正方体
的棱长为1，点
在线段
和线段
上移动，

，过直线
的平面
将正方体分成两部分，记棱
所在部分的体积为
，则函数
的大致图像是（ ）

12. 己知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
为偶函数，
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（主观题90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额t(单位：百万元)

进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

m

2

4

5

6

8



t

30

40

p

50

70



经测算,年广告支出m与年销售额t满足线性回归方程
，则p的值为 。

14．若不等式组
表示的平面区域内的点都在圆
内，则
的最小值是_______．

15.在△ABC中,
,
,且
,则
等于 .

16.数列
满足
，
，其前
项积为
，则
= ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 共70分.

17. （本小题满分12分）

如图,在△ABC中,
,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.

（I）若△BCD的面积为
,求CD的长;

（II）若ED=
,求角A的大小.

18. （本小题满分12分）

某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了

了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1-50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：

甲抽取的样本数据

编号

2

7

12

17

22

27

32

37

42

47



性别

男

女

男

男

女

男

女

男

女

女



投篮成 绩

90

60

75

80

83

85

75

80

70

60





乙抽取的样本数据

编号

1

8

10

20

23

28

33

35

43

48



性别

男

男

男

男

男

男

女

女

女

女



投篮成 绩

95

85

85

70

70

80

60

65

70

60





（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为
，求
的分布列和数学期望．

优秀

非优秀

合计



男









女









合计





10



（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？

（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
，其中
）

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，

平面
平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，

.

（I）证明：
平面SMC；

（II）若SB与平面ABCD所成角为
，N为棱SC上的动点，

当二面角
为
时，求
的值。

20．（本小题满分12分）

已知
为椭圆
：
的右焦点，椭圆
上任意一点
到点
的距离与点
到直线
：

的距离之比为
。

（I）求直线
方程；

（II）设
为椭圆
的左顶点，过点
的直线交椭圆
于
、
两点，直线
、
与直线
分别相交于
、
两点。以
为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

21.(本小题满分12分)

已知
.

（I）若
对于公共定义域内的任意
恒成立,求实数
的取值范围;

（II）设
有两个极值点
,且
,若
恒成立,求实数
的最大值.

请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4--4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以
轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为

（I）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（II）过点P(0，2)作斜率为l直线
与曲线C交于A，B两点，试求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4--5；不等式选讲．

已知函数
.

（I）解不等式
;

（II）若
＜1,
＜1,且
≠0,求证：
＞

2016届5月校统测参考答案

理科数学

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

C

B

A

B

B

C

B

 B

A

D

C

D





二、填空题：

13. 60 ; 14.
; 15. 3 ; 16. -6 .

三、解答题：

17.【解】: （Ⅰ）由已知得
,又BC=2,
∴

在△BCD中,由余弦定理得

CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=
.∴
6分

（Ⅱ）在
中
,
,∴

∴CD=AD=

在
中
,又∠BDC=2A,得

,∴

∴

解得
,所以
=
12分

18.【解】（Ⅰ）在乙抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4，

∴
的取值为0，1,2,3。

分布列为：

0

1

2

3
















6分

（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得
列联表如下：

优秀

非优秀

合计



男

4

2

6



女

0

4

4



合计

4

6

10



 7分

的观测值

4.444
3.841， 9分

所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． 10分

（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………………………11分

由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．…………………………………………12分

19.(1)
平面
平面ABCD，

∴
,又

∴

又AM=AB，

∴

∴
,即

又
为平面
内两相交直线。

∴
平面SMC …………6分

(2)由（1）可如图建系。

设
,则
,

SB与平面ABCD所成角为
，∴
，∴
。

设
,
,得

由(1)
平面SMC，∴二面角
的平面角为
.

∴

∴
，即

解得：
，∴
。 …………12分

法二：

平面SMB

平面SMB的一个法向量为

设
,
,得

可得平面BMN的一个法向量为
，（或
）

，解得：
，∴

另解：
SB与平面ABCD所成角为
，∴
，∴
。

由(1)
平面SMC，∴二面角
的平面角为
.

当

时，
为
的内角平分线。

∴
.

20.解析（1）设
为椭圆
上任意一点，依题意有
…1分

∴
。将
代入，并整理得

…………… 2分

由点
为椭圆上任意一点知，方程
对
的
均成立。∴
，且
解得
。

∴ 直线
的方程为
…………4分

（2）易知直线
斜率不为0，设
方程为
。 …… 6分

由
，得
。

设
，
，则
，
。 …… 7分

由
，知
方程为