玉溪一中2016届高三第八次月考试题

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若集合
，
，则
（　　　）

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　D．

2. 已知
，其中为虚数单位，则 ( )

A．-1 B．1 C．2 D．3

3. 已知条件p：
，条件q：
，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 下列说法错误的是（ ）

A．自变量取值一定时，因变量的取值有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B．在线性回归分析中，相关系数越大，变量间的相关性越强

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好

5. 已知公差不为0的等差数列
满足
成等比数列，
为数列
的前项和，则
的值为（ ）

A. B. C. 2 D. 3

6. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的
为（ ）

A．
的值

B．
的值

C．
的值

D．
的值

7. 已知数列{
}满足
（
，d为常数），且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝ （ ）

A．10 B．20 C．30 D．40

8.设
、
是椭圆
的左、右焦点，为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角形，则
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为（ ）

A．1.2 B．1.6

C．1.8 D．2.4

10. 将函数
的图象向左移动
之后的图象与原图像的对称中心重合，则正实数
的最小值是（ ）

A．
　B．
C．
D．

11. 已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
，则双曲线的焦距为（　　　）

A．
　　　 　B．
　　　 　C．
　　　 　D．

12. 已知函数
的定义在实数集
上的奇函数，且当
时，
（其中
是
的导函数），若
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知函数
为奇函数,且当
时,
,则
_________.

14. 设点
是区域
内的任意一点，则
的取值范围是__________________.

15. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于　　　　　　．

16.已知
为等边三角形
内一点,且满足
,若三角形
与三角形
的面积之比为
,则实数
的值为________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. （本小题满分12分）

已知等比数列
的公比
，前3项和S3=
。

（I）求数列
的通项公式；

（II）若函数
在
处取得最大值，且最大值为
，求函数
的解析式。

18. （本小题满分12分）

某校高三文科600名学生参加了12月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语情况，利用随机数表法从中抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为

（Ⅰ）若从第6行第7列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5人的编号（下面是摘自随机数表的第4行至第7行）；

（Ⅱ）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：

若数学成绩优秀率为35%，求
的值；

(Ⅲ)在外语成绩为良的学生中，已知
，求数学成绩优比良的人数少的概率。

（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
，
平面
，
为线段
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求点
到平面
的距离.

20. （本小题满分12分）

椭圆

的离心率为
，其左焦点到点
的距离为
．

(I)求椭圆
的标准方程；

(II) 若直线
与椭圆
相交于
两点(
不是左右顶点)，且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

21. （本小题满分12分）

设函数
（
）.

（I）若函数
在其定义域内为单调递增函数，求实数
的取值范围；

（II）设
，且
，若在
上至少存在一点
，使得

成立，求实数
的取值范围.

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22. （本小题满分10分）

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为
，曲线C2的极坐标方程为
，射线θ＝
，θ＝
＋
，θ＝
－
，θ＝
＋
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．

（I）若曲线C1关于曲线C2对称，求
的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（II）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．

23. （本小题满分10分）

已知关于
的不等式
有解，记实数
的最大值为
.

（I）求
的值；

（II）正数
满足
，求证
.

玉溪一中2016届高三第八次月考试题

文科数学答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

B

B

C

C

B

C

B

A

A

D



填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17. 解：（I）由
解得
所以

（II）由（I）可知
因为函数
的最大值为3，所以A=3。

因为当
时
取得最大值，所以
又

所以函数
的解析式为

18.（1） 544,354,378,520,384

（2）

（3）

19. （Ⅰ）证明：设线段
的中点为
，连接
，
. 在△
中，
为中位线，

故
.又
平面
，
平面
，所以
平面
.

在底面直角梯形
中，
，且
,故四边形
为平行四边形，

即
.又
平面
，
平面
，所以
平面
.又因为
平面
，
平面
，且
，所以平面
平面
.

又
平面
，所以有
平面
. …………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点
到平面
的距离与点
到平面
的距离相等.连接AC，设点
到平面
的距离为
，

因为PA⊥平面ABCD，AC
平面ABCD，所以PA⊥AC.

根据题意，在Rt△PAD中，
，在Rt△ADC中，
，

在Rt△PAC中，
，由于
，所以△PCD为直角三角形，
.
.又
，所以
.

即点
到平面
的距离为
. …………………………………………………12分

20. 解：（I）由题：
①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：

d = =② 由①②可解得c = 1， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3．

∴所求椭圆 C 的方程为 ．

（II）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得

(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．

∴x1 + x2 = －，x1x2 = ，且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．

∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 ?= 0．

所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)

= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4

= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ．

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = －k 或 m = －2k 都满足 △ > 0．

若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；

若 m = －k 时，直线 l 为 y = kx－k = k (x－)， 恒过定点 (,0) ．

21.解：（I）f′(x)=p＋－ = ，依题意，f ′(x)≥0在(0, + ∞)内恒成立，

只需px2－2x＋p≥0在(0, + ∞)内恒成立，只需p≥在(0, + ∞)内恒成立，

只需p≥（）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+ ∞)。

（应该验证
时，符合题意，此题不验证也不扣分）

（II）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)= f(x)－g(x)= px－－2ln x－,x∈[1,e]，h ′(x)=p＋－＋ = ，

因为x∈[1,e]，p>0，所以h ′(x)>0在[1,e]上恒成立，

所以h(x) 在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)= h(e)=p(e－)－4,

依题意，要h(x) >0在[1,e]有解只需hmax(x) >0，所以p(e－)－4>0

解得p > ，所以p的取值范围是(, + ∞) 。

22. 22. 解：（1）
：
， ----2分
：
， ----4分

因为曲线
关于曲线
对称，
，
：
------5分

（2）
；

，

-----------------------8分

-----------------------10分

23.
， 若不等式
有解，

则满足
，解得
.∴
.

（2）由（1）知正数
满足
，

∴

，

当且仅当
时，取等号.

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