玉溪一中2016届高三第八次月考试题

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若集合
，
，则
（　　　）

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　D．

2. 已知
，其中
为虚数单位，则
( )

A．-1 B．1 C．2 D．3

3. 下列说法错误的是（ ）

A．自变量取值一定时，因变量的取值有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B．在线性回归分析中，相关系数
越大，变量间的相关性越强

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在回归分析中，
为
的模型比
为
的模型拟合的效果好

4. 已知公差不为0的等差数列
满足
成等比数列，
为数列
的前
项和，则
的值为（ ）

A.
B.
C. 2 D. 3

5. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的
为（ ）

A．
的值

B．
的值

C．
的值

D．
的值

6. 设
、
是椭圆
的左、右焦点，
为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角形，则
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 若数列{
}满足
－
＝d （n∈N﹡，d为常数），则称数列{
}为调和数列．已知数列{
}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝ （ ）

A．10 B．20 C．30 D．40

8.已知
，则二项式
的展开式中
的系数为（ ）

A． 160 B．80 C.
D.

9. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为（ ）

A．1.2 B．1.6

C．1.8 D．2.4

10. 已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
，则双曲线的焦距为（　　　）

A．
　　　 　B．
　　　 　C．
　　　 　D．

11. 将函数
的图象分别向左和向右移动
之后的图象的对称中心重合，则正实数
的最小值是（ ）

A．
　B．
C．
D．

12. 设定义在
上的函数
满足
，
，则
（ ）

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知函数
为奇函数,且当
时,
,则
_________.

14. 设
，向量
，若
，则
_____.

15. 设点
是区域
内的任意一点，则使函数
在区间
上是增函数的概率为__________.

16. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为
，则
的最大值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. （本小题满分12分）已知等比数列
的公比
，前3项和S3=
。

（I）求数列
的通项公式；

（II）若函数
在
处取得最大值，且最大值为
，求函数
的解析式。

18. （本小题满分12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为
，
，
，且各轮考核通过与否相互独立。 （I）求甲通过该高校自主招生考试的概率； （II）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为
，求
的分布列和数学期望。

19. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，
，
，
，
平面
.

（Ⅰ）设
为线段
的中点，求证：
//平面
；

（Ⅱ）若
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

20.过抛物线
：
的焦点
的直线交抛物线于
两点，且
两点的纵坐标之积为
．

（I）求抛物线
的方程；

（II）已知点
的坐标为
，若过
和
两点的直线交抛物线
的准线于
点，求证：直线
与
轴交于一定点．

21. 已知函数
（
）

（I）求此函数的单调区间及最值；

（II）求证：对于任意正整数n，均有1＋
＋
…＋
≥
（e为自然对数的底数）．

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22. （本小题满分10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为
，曲线C2的极坐标方程为
，射线θ＝
，θ＝
＋
，θ＝
－
，θ＝
＋
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．

（I）若曲线C1关于曲线C2对称，求
的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（II）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．

23. （本小题满分10分）已知关于
的不等式
有解，记实数
的最大值为
.

（I）求
的值；

（II）正数
满足
，求证
.

玉溪一中2016届高三第八次月考试题

理科数学答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

B

C

C

C

B

C

B

A

D

D



填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17. 解：（I）由
解得
所以

（II）由（I）可知
因为函数
的最大值为3，所以A=3。

因为当
时
取得最大值，所以
又

所以函数
的解析式为

18. （1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P(A)＝

所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
-------------4分

（2）
的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

，
，

--------------9分

所以，
的分布列为

数学期望为
---------------------12分

19. （Ⅰ）证明：设线段
的中点为
，连接
，
. 在△
中，
为中位线，故
.又
平面
，
平面
，所以
平面
.在底面直角梯形
中，
，且
，故四边形
为平行四边形，即
.又
平面
，
平面
，所以
平面
.又因为
平面
，
平面
，且
，所以平面
平面
.又
平面
，所以有
平面
. ……………………6分

（Ⅱ）如右图所示，以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系. 设
，则
，
，
，
.

，
，
，

，

设
是平面
的法向量，则

，即
，

可取
，同理，设
是平面
的法向量，则

，可取
，从而
. …12分

20. 【解析】（1）抛物线的焦点为
，故可设直线
的方程为
，

由
，得
，设
，则
，

∴
，由
，可得
．∴抛物线
的方程为
．

（2）依题意，直线
与
轴不垂直，∴
．∴直线
的方程可表示为
，① ∵抛物线
的准线方程为
，②

由①，②联立方程组可求得
的坐标为
，由（1）可得
，

∴
的坐标可化为
，∴
，

∴直线
的方程为
，

令
，可得
，

∴直线
与
轴交于定点
．

21. （1）解：由题意
．………………………………………………………………………………………2分

当
时，函数
的定义域为
，

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数，

，无最大值．………………………………………………4分

当
时，函数
的定义域为
，

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数，

，无最大值．………………………………………………6分

（2）取
，由⑴知
，

故
， …………………………………………………………10分

取
，则
．……………………………12分

22. 解：（1）
：
， ----2分
：
， ----4分

因为曲线
关于曲线
对称，
，
：
------5分

（2）
；

，

-----------------------8分

-----------------------10分

23.
， 若不等式
有解，

则满足
，解得
.∴
.

（2）由（1）知正数
满足
，

∴

，

当且仅当
时，取等号.

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