2016年玉溪一中高三第一次校统测试题

文 科 数 学

第Ⅰ卷（客观题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．设
，则B的元素个数是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．无数个

2．已知复数
是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m的值为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3.已知
,“函数
有零点”是“函数
在
上为减函数”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.在等比数列
中，
是方程
的根，则
的值为( )

A．
B．4 C．
D．

5．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额t(单位：

百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

m

2

4

5

6

8



t

30

40

p

50

70



 经测算,年广告支出m与年销售额t满足线性回归方程
，则p的值为( )

A．45 B．50 C．55 D．60

6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几

何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个

扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观

性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )

A B C D 直观图

7.执行如图所示的程序框图,若
,取
则输出的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知三个数
构成一个等比数列,则圆锥曲线
的离心率为（ ）

A．
B．

C．
或
D．
或

9..函数
的部分图象如图所示，则
的值分别为( )

A.
B.

C.
D.

10.在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且
，
，
，则
等于( )

A．2 B．8 C．4 D．16

11.如图正方体
的棱长为1，点
在线段
和线段
上移动，

，过直线
的平面
将正方体分成两部分，记棱
所在部分的体积为
，则函数
的大致图像是（ ）

12.定义在
上的函数
的图像关于
对称，且当
时，
（其中
是
的导函数），若
，

，
，则
的大小关系是（ ）.

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（主观题90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共计20分．

13．已知向量
，且
，则实数
等于______.

14．若不等式组表示的平面区域内的点都在圆
内，则
的最小值是_______．

15.过双曲线
的左焦点
，作圆
的切线交双曲线右支于点P，切点为T，
的中点为M，则
_____________

16.已知数列{an}的首项
=2，前n项和为Sn，且
=2Sn+2n+2(n∈N*)，则Sn=______.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置．

17.（本小题满分12分）

如图,在△ABC中,
,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.

（Ⅰ）若△BCD的面积为
,求CD的长;

（Ⅱ）若ED=
,求角A的大小.

18.（本小题满分12分）

某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1-50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：

甲抽取的样本数据

编号

2

7

12

17

22

27

32

37

42

47



性别

男

女

男

男

女

男

女

男

女

女



投篮成 绩

90

60

75

80

83

85

75

80

70

60





乙抽取的样本数据

编号

1

8

10

20

23

28

33

35

43

48



性别

男

男

男

男

男

男

女

女

女

女



投篮成 绩

95

85

85

70

70

80

60

65

70

60





优秀

非优秀

合计



男









女









合计





10



（Ⅰ）观察乙抽取的样本数据，若从男同学中抽取两名，求两名男同学中恰有一名非优秀的概率．

（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？

（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
，其中
）

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，

平面
平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，
.

（I）证明：
平面SMC；

（II）设三棱锥
与四棱锥
的体积分别为
，求
.

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，右顶点
。

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ)在
轴上是否存在定点
，使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且
恒成立?若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分1 2分）

已知函数f(x)=mx-
-lnx，m∈R．函数g(x)=
+lnx在[1，+∞）上为增函数，

且
∈[0，
）．

(I)当m=3时，求f(x)在点P（1，f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上为单调函数，求m的取值范围．

请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4--4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为

(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(Ⅱ)过点P(0，2)作斜率为l直线l与曲线C交于A，B两点，试求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4--5；不等式选讲．

已知函数
.

(I)解不等式
;

(Ⅱ)若
＜1,
＜1,且
≠0,求证：
＞

2016年玉溪一中高三第一次校统测试题

文 科 数 学

参考答案（文科）

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

A

D

B

B

D

C

B

C

A



二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13. 9　　 14．
　 15．
16．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17.解: (1)由已知得S△BCD=
BC·BD·sin B=
,又BC=2,sin B=
,∴BD=
,cos B=
.

在△BCD中,由余弦定理得

CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=22+(
)2-2×2×
×
=
.∴CD=
. 6分

(2)∵CD=AD=
=
,在△BCD中,由正弦定理得
=
,又∠BDC=2A,得
=
,解得cos A=
,所以A=
. 12分

18.【解析】

（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得
列联表如下：

优秀

非优秀

合计



男

4

2

6



女

0

4

4



合计

4

6

10



 6分

的观测值

4.444
3.841， 8分

所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． 9分

（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． …… 10分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． …… 12分

19．解： （1）证明：

因为平面SAD⊥平面ABCD,且它们的交线为AD,SM
平面SAD,SM⊥AD

所以SM⊥平面ABCD ,BM
平面ABCD

所以SM⊥BM ……2分

又因为四边形ABCD是直角梯形

所以 AB∥CD ,AM=AB ,DM=DC

所以△MAB ,△MDC都是等腰直角三角形

所以∠AMB=∠CMD=
,∠BMC=
即BM⊥CM

因为SM
平面SMC ,CM
平面SMC 且SM
CM=M

所以BM⊥平面SMC ……6分

（2）
且由（1）得 SM⊥平面ABCD

……8分

设AB=a,则CD=3a, BM=
,CM=
,AD=4a

所以
……12分

20. 解： (1)由
得
，所以椭圆的方程为
……4分

(2)设
,直线l的方程设为
,与椭圆的方程联立得:

所以
…….6分

从而
,整理得:

……10分

解得:
(舍去)或
…….11分

故在
轴上是否存在定点
(1,0),使得过M的直线l交椭圆于B、D两点,且
恒成立 ……12分

21. 解: （1）当m=3时
，
………1分

所求切线斜率

即切线方程为
………4分

（2）
在
上为增函数，
在
上恒成立， 即
在
上恒成立，………5分

………7分

由
得

………8分

在
上为单调函数，

在
上恒成立，………9分

即
时
恒成立，………10分

设

（当且仅当
时“等号”成立）

………11分

， 即m取值范围为
………12分

22.解:（1）令
代入得
……5分

（2）设A,B两点对应参数为t1,t2,直线l方程
，代入
得

，

……10分

23解析：（Ⅰ）不等式解集为
……5分

（Ⅱ）要证:
成立

只需证:

只需证:

只需证:

只需证:

成立

成立

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