2016年云南省高中毕业生第一次复习

数学理检测卷

(满分：150分 时间：120分钟)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合A＝{x|0

A．(0,4] B．(-1,0) C．(-1,6) D．(-1,0)∪(0,4]

2．若
（
、
是实数，
是虚数单位），则复数
的共轭复数等于

A．
B．
C．
D．1+ i

3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

A．
B．
C．
D．5

4．某程序框图如右图所示，该程序运行后输

出的S的值为

A．2 B．－

C．－3 D．

5．设a、b是两条不同的直线，α、β是两

个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若a∥b，a∥α，则b∥α

B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β

C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α

D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

6．已知数列
满足
，他的前
项的和为
，则
的最大值是
是
的

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7．已知函数f(x)=|lgx|,0

A. ab=1 B. (a-1)(b-1)>0 C. ab<1 D. ab>1

8. 为了得到函数y＝sin x＋cos x的图象，只需把y＝sin的图象上所有的点

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

9．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有

A．12 B．18 C．24 D．48

10. 函数
的定义域为
，
，对任意的
，都有
成立，则不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

11．已知点
、
分别是椭圆
的左、右焦点，过
且垂直于
轴的直线与椭圆交于
、
两点，若
为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率
为

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若a，b，c互不相等，且满足

f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是

A．（1，10） B．（2，8） C．（5，6） D．（0，10）

二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上)

13． 在等差数列
中，
，则此数列前10项的和是 .

14．已知奇函数
则
得值为______________

15. x，y满足
且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为　　．

16．已知菱形ABCD的边长为2，
,M为CD的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），且
,则
的取值范围为___________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知＝.

(1)求的值；

(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．

18.（本小题满分12分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．

（I）求数列{an}的通项；

（Ⅱ）设数列{bn﹣an}是等比数列，且b2=7，b5=91，求数列{bn}的前n项和Tn．

19. (本小题满分12分)[一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=
，f5（x）=sin（
+x），

f6（x）=xcosx．

（1）从中任意取2张卡片，求至少有一张卡片写着的函数为奇函数的概率；

（2）在（1）的条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到新函数为奇函数

的概率；

（3）现从盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函

数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．

20. （本小题满分12分）如图，在四棱柱
中，侧棱

,
,
,
，
,且点M

和N分别为
的中点.

(I)求证： MN∥平面ABCD

(II)求二面角
的正弦值；

(III)设E为棱
上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为
，求线段
的长

21．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆

的离心率为
，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD. 当直线AB

斜率为0时，弦AB长4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|+|CD|=
,求直线AB的方程.

22．(本小题满分13分) 设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实

数．

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有

最小值，求a的取值范围；

（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，

并证明你的结论．

理科数学参考答案

1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.D 8.C 9.C 10.A 11.C 12.B

二．13.30 14.8 15.
16.

三、

17. 解：(1)由正弦定理，设＝＝＝k，

则＝＝，

所以＝，

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．

又因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.

因此＝2.

(2)由＝2得c＝2a.

由余弦定理及cos B＝得

b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.

所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1.因此b＝2.

18. 解：（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，

∵a2，a4，a8成等比数列，

∴
，

∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），

化为d2﹣2d=0，d≠0．

解得d=2．

∴an=2+2（n﹣1）=2n．

（II）b2﹣a2=7﹣4=3，

b5﹣a5=91﹣10=81，

设等比数列{bn﹣an}的公比为q，

则81=3q3，解得q=3．

∴bn﹣an=
=3×3n﹣2=3n﹣1．

∴数列{bn}的前n项和Tn=
=
．

19．解：（Ⅰ）f1（x）为奇函数；f2（x）为偶函数；f3（x）为偶函数；

f4（x）为奇函数；f5（x）=为偶函数； f6（x）=为奇函数，

故所求概率为P=
=
，

（Ⅱ）∵
=
=
，
=
, p=1/4

（Ⅲ） P（ξ=1）=
=
，P（ξ=2）=
×
=
，P（ξ=3）═
×
×
=
，P（ξ=4）=
×
×
×
=
；

故ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4



P













E（ξ）=1×


+4×
=

20．(1)

（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知
，不满足条件；②当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k(x-1),则直线CD的方程为
.

将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得
，

则
，

所以
.

同理，
.

=
=

解得
，

所以直线AB方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

21. 解：（Ⅰ）由已知得，c=
，
，

解得a=
，又b2=a2﹣c2=4，

所以椭圆G的方程为
．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，

由
得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①

设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），

则x0=
=﹣
，

y0=x0+m=
，

因为AB是等腰△PAB的底边，

所以PE⊥AB，

所以PE的斜率k=
，

解得m=2．

此时方程①为4x2+12x=0．

解得x1=﹣3，x2=0，

所以y1=﹣1，y2=2，

所以|AB|=3
，此时，点P（﹣3，2）．

到直线AB：y=x+2距离d=
，

所以△PAB的面积s=
|AB|d=
．

22．解：

（1）求导数可得f′（x）=
﹣a

∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴
﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥
，x∈（1，+∞）．∴a≥1．

令g′（x）=ex﹣a=0，得x=lna．

当x＜lna时，g′（x）＜0；

当x＞lna时，g′（x）＞0．又g（x）在（1，+∞）上有最小值，

所以lna＞1，即a＞e．

故a的取值范围为：a＞e．

（2）当a≤0时，g（x）为单调函数；

当a＞0时，令g′（x）=ex﹣a＞0，解得a＜ex，即x＞lna

因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，

即0＜
．

结合上述两种情况，有
．

①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=
＞0，得f（x）存在唯一的零点；

②当a＜0时，由于f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f（x）在上的图象不间断，所以f（x）在（ea，1）上存在零点．

另外，当x＞0时，f′（x）=
﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点．

③当0＜a≤
时，令f′（x）=
﹣a=0，解得x=
．当0＜x＜
时，

f′（x）＞0，当x＞
时，f′（x）＜0，所以，x=
是f（x）的最大值点，且最大值为f（
）=﹣lna﹣1．

（i）当﹣lna﹣1=0，即a=
时，f（x）有一个零点x=e；

（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜
时，f（x）有两个零点；

实际上，对于0＜a＜
，由于f（
）=﹣1﹣
＜0，f（
）＞0，且函数f（x）在上的图象不间断，所以f（x）在（
）上存在零点．

另外，当0＜x＜
时，f′（x）=
﹣a＞0，故f（x）在（0，
）上时单调增函数，所以f（x）在（0，
）上只有一个零点．

下面考虑f（x）在（
，+∞）上的情况，

先证明f（
）=a（
）＜0．为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2．

设h（x）=ex﹣x2，则h′（x）=ex﹣2x，

再设l（x）=h′（x）=ex﹣2x，则l′（x）=ex﹣2．

当x＞1时，l′（x）=ex﹣2＞e﹣2＞0，

所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；

故当x＞2时，h′（x）=ex﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，

从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，

进而当x＞e时，h（x）=ex﹣x2＞h（e）=ee﹣e2＞0，

即当x＞e时，ex＞x2

当0＜a＜
，即
＞e时，f（
）=
=a（
）＜0，又f（
）＞0，且函数f（x）在上的图象不间断，

所以f（x）在（
，
）上存在零点．

又当x＞
时，f′（x）=
﹣a＜0，故f（x）在（
，+∞）上是单调减函数，

所以f（x）在（
，+∞）上只有一个零点．

综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=
时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜
时，f（x）的零点个数为2．

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