乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本卷分为问卷(4页)和答卷(4页)，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.

2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A ? { x | 1 < x < 3 }, B ? { x | x2 < 4 }，则A∩B ?

A. ( ?2, 3 ) B. ( 1, 2 ) C. ( 2, 3 ) D. ( 2, 4 )

2.复数 对应的点在复平面的

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.已知偶函数f (x) 在区间[ 0, ? ∞ )上单调递增，则满足f (2x ? 1) <
的x 的取值范围是

A.
B.
C.
D.

4.设x, y 满足约束条件，则z ? x ? 2y 的最小值为

A. 8 B. 7 C. 2 D. 1

5.已知α是第二象限角，且
，则

A. ?  B. ?? C.  D. 

6.如图所示是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为

A. 100 B. 92 C. 84 D. 76

7.在平行四边形ABCD中，AB ? 2，AD ? 1，∠DAB ? 60°，E是

BC的中点，则

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.执行如图所示的程序框图，若m ? 4, 则输出的结果为

A. 1 B.  C. 2 D. 

9.已知x, y都是正数，且x ? y ? 1，则
的最小值为

A.  B. 2 C.  D. 3

10.设函数f (x) ? sinx ? cosx , x∈[0, 2π] , 若0 < a < 1，则方程f (x) ? a的所有根之和为

A.  B. 2π C.  D. 3π

11.设a > b > 1，则下列不等式成立的是

A. alnb > blna B. alnb < blna C. ae b > be a D. ae b < be a

12.设P为双曲线
右支上一点，O是坐标原点，以OP为直径的圆与直线

的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率e的取值范围是

A. ( 1, ) B. ( 1, ] C. (, ? ∞ ) D. [, ? ∞ )

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.( 1 ? 2x )( 1 ? x )5的展开式中x2的系数是 ( ；

14.若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，则此椭圆的内接正方形的边长为 ( ；

15.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a, b, c , 且 a ? c ? 2b ? 2, a ? 2sinA，则此三角形的面积S△ABC ? ( ；

16.已知四面体ABCD满足 AB ? CD ? , AC ? AD ? BC ? BD ? 2，则四面体ABCD的外接球的表面积是 ( .

三、解答题：第17 ~ 21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知数列{ an }的前n项和为Sn , 且Sn ? 2an ? 1.

（Ⅰ）求数列{ an }的通项公式；

（Ⅱ）记bn ? log2an , 求数列{anbn}的前n 项和Tn .

18.如图, 三棱锥P?ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC ? AC ，

E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F.

（Ⅰ）求证：AP⊥FB；

（Ⅱ）求二面角A?FC?B的平面角的余弦值.

19.在一次高三数学模拟测验后，对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：

选修4?1

选修4?4

选修4?5



男生（人）

10

6

4



女生（人）

2

6

14





（Ⅰ）在统计结果中，如果把“选修4?1”和“选修4?4”称为“几何类”，把“选修4?5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关？

（Ⅱ）已知本班的两名数学课代表都选答的是“选修4?5”，现从选答“选修4?1”、“选修4?4”和“选修4?5”的同学中按分层抽样的方法随机抽取7人，记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望

附：

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010.

0.005

0.001



k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





20.在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F( 1, 0 )的距离比它到y轴的距离多1.

（Ⅰ）求点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）过点F任作直线l, 交曲线E于A，B两点，交直线x ? ?1于点C，M是AB的中点，

求证 |CA|(|CB| ? |CM|(|CF|

21.已知函数
其中m > 0

（Ⅰ）当m ? 1时，求证 ?1 < x≤0时，f (x)≤
；

（Ⅱ）试讨论函数y ? f (x)的零点个数.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，并将所选题号下的“ο”涂黑. 如果多做，按所做的第一题计分. 满分10分

22.选修4?1：几何证明选讲

如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O分别交AC，AB于点E，F，BE，CF交于点H.

求证（Ⅰ）过C点平行于AH的直线是⊙O的切线；

（Ⅱ）BH(BE ? CH(CF ? BC2

23.选修4?4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

圆ρ ? 2cosθ与圆ρ ? sinθ交于O，A两点.

（Ⅰ）求直线OA的斜率；

（Ⅱ）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B，C，求|BC|

24.选修4?5：不等式选讲

设函数 f (x) ? x2 ? 3x .

（Ⅰ）若λ ? μ ? 1（λ, μ > 0 ），求证f (λx1 ? μx2 ) ≤ λf (x1) ? μf (x2)；

（Ⅱ）若对任意x1 , x2 ∈[0, 1]，都有| f (x1) ? f (x2) | ≤ L| x1 ? x2 |，求L的最小值

乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验

理科数学答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．

1~5 BAADC 6~10 ACDCC 11~12 DB

1.选B.【解析】∵
，∴
，故选B.

2.选A.【解析】∵
，对应的点为
.故选A.

3.选A.【解析】∵
是偶函数，∴
，∴
，

再根据
的单调性，得
，解得
.故选B.

4.选D.【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，

平移直线
，可知当经过点
时，

取最小值
.故选D.

5.选C.【解析】由
,得
，又∵
是第二象限角,

　∴
，∴原式=
.故选C.

6.选A.【解析】由几何体的三视图，可知该几何体为截去一角的

长方体，其直观图如图所示，所以其体积

，故选A.

7.选C.【解析】

　
，故选C.

8.选D.【解析】由
，解得
或
.由框图可知，开始，
，
.第一步，
，
.第二步，
，
.第三步，
，
.第四步，
，
.第五步，因为
，满足判断框内的条件，故输出结果为
.故选D.

9.选C.【解析】由题意知，
，
，则

，当且仅当
时，
取最小值
.故选C.

10.选C.【解析】
，∵
，∴
，
，方程
有两根
，由对称性，有
，∴
，故选C.

11.选D.【解析】令
，则
，令
则
，

当
时，
，
，当
时，
，
，

∴函数
的增区间为
，减区间为
，又

∴当
时，
，即
，即

而
时，
，即
，故A、B不正确，

令
，同理可知函数
的增区间为
，减区间为

∴当
时，
，即
，即
,故选D.

12.选B.【解析】设
，交点
，则
，与
联立，得
，若要点
始终在第一象限，需要
即要
恒成立，若点
在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点
在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时
，∴
，而
，故
恒成立，只需
，即
，

∴
.故选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.填
.【解析】
展开式的通项为
，由题意可知，
的系数为
.

14.填
．【解析】不妨设椭圆方程为

，依题意得
，
，得椭圆方程为
，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为
，代入椭圆方程，得
，所以正方形边长为
.

15.填
．【解析】由题意得，
，而
，∴
，又
，
不可能是钝角，
，而
，即
，∴
，∴


.

16.填
．【解析】在四面体
中，取线段
的中点为
，连结
，
，则
，在
中
,

∴
，同理
，取
的中点为
,由
，得
，在
中，
，
,取
的中点为
，则
,在
中
，
,∴该四面体的外接球的半径是