乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.

2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M ? { x |0 < x < 2 }, N ? { x | x > 1 }，则M∩N ?

A. [ 1, 2) B. ( 1, 2 ) C. [ 0, 1 ) D. ( 0, 1]

2.复数

A. 1 ? i B. ? 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i

3.设α，β，γ为平面，m, n为直线，则m⊥β的一个充分条件是

A. α⊥β, α∩β ? n, m⊥n B. α∩γ ? m, α⊥γ, β⊥γ

C. α⊥γ , β⊥γ, m⊥α D. n⊥α, n⊥β, m⊥α

4.等差数列{an}中，a3 ? 5, S6 ? 36，则S9 ?

A. 17 B. 19 C. 81 D. 100

5.若函数f (x) ? cos2x ? a sinx在区间(  ,  )上是减函数，则a的取值范围是

A. ( 2, 4 ) B. ( ??∞, 2 ] C. ( ? ∞, 4] D. [ 4, ? ∞ )

6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ? xyz中的坐标分别是( 1, 0,  ), ( 1, 1, 0 ), ( 0, , 1 ), ( 1, 0, 1 )，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为

7.执行如图的程序框图( n∈N* )，则输出的S ?

A. a ? aq ? aq2 ? …… ? aqn ? 1 B.

C. a ? aq ? aq2 ? …… ? aqn ? 1 ? aqn D.

8.凸四边形OABC中，
，则该四边形的面积为

A. B. 2 C. 5 D. 10

9.过抛物线焦点F的直线，交抛物线于AB两点，交准线于C点，若
，则λ ?

A. ? 4 B. ? 3 C. ? 2 D. ? 1

10.设f (x) ? |ln( x ? 1 )|，已知f (a) ? f (b) ( a < b )，则

A. a ? b > 0 B. a ? b > 1 C. 2a ? b > 0 D. 2a ? b > 1

11.P是双曲线
上的一点，F1，F2是焦点，PF1与渐近线平行，∠F1PF2 ? 90°，则双曲线的离心率为

A.  B.  C. 2 D. 

12.设函数f (x) 在R上存在导函数f ′(x)，对任意x∈R , 都有f (x) ? f ( ? x ) ? x2，且x∈( 0, ? ∞)时，f ′(x) > x，若f ( 2 ? a ) ? f ( a ) ≥ 2 ? 2a，则实数a的取值范围是

A.[ 1, ? ∞ ) B. ( ? ∞, 1 ] C. ( ? ∞, 2] D. [ 2, ? ∞ )

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.若
的二项展开式中的常数项是84, 则实数a = × ；

14.已知实数x , y 满足约束条件，则z ? 2x ? y 的最小值为 × ；

15.掷两枚骰子，则向上的点数之和小于6的概率为 × ；

16.设数列{ an }的各项均为正数，其前n项和Sn满足Sn ?
，则an ? × .

三、解答题：第17 ~ 21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知函数f (x) ? sin( 2x ?  ) ? cos( 2x ?  ) ? cos2x ( x∈R ).

（Ⅰ）求f (x)的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f (B) ? ，AC ? ，求△ABC周长的最大值.

18.如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，E，F分别是BB1，A1C1的中点.

（Ⅰ）求证EF∥平面A1BC；

（Ⅱ）若AB ? AC ? AA1? 1，求二面角A1 ??BC ??F的平面角的余弦值.

19.某城市居民生活用水收费标准为W(t) ? （ t为用水量，单位：吨；

W为水费，单位：元 ），从该市抽取的100户居民的月用水量的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；

（Ⅱ）连续10个月，每月从这100户中随机抽取一户，若抽到的用户当月所交水费少于9.45元，则对其予以奖励.设X为获奖户数，求X的数学期望.

20.已知椭圆
的离心率为，过焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为M ( ? ,  ) .

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过点A与椭圆只有一个公共点的直线为l1，过点F与AF垂直的直线为l2，求证l1与l2的交点在定直线上.

21.已知函数f (x) ? ex + ln( x + 1 ).

（Ⅰ）求曲线y ? f (x) 在点 ( 0, f (0) ) 处的切线方程；

（Ⅱ）若x ≥0时，f (x) ≥ ax + 1成立，求实数a的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑

22.（本题满分10分）选修4?1：几何证明选讲

如图，PA是圆的切线，A是切点，M是PA的中点，过点M作圆的割线交圆于点C，B，连接PB，PC，分别交圆于点E、F, EF与BC的交点为N.

求证：（Ⅰ）EF∥PA；

（Ⅱ）MA·NE ? MC·NB .

23.（本题满分10分）选修4?4：坐标系与参数方程

点P是曲线 ρ ? 2 ( 0 ≤ θ ≤π )上的动点，A( 2, 0 ), AP的中点为Q .

（Ⅰ）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若C上点M处的切线斜率的取值范围是 [ ? , ?  ]，求点M横坐标的取值范围.

24.(本题满分10分) 选修4 ? 5：不等式选讲

已知函数f (x) ? | x ? a | ? 2| x ? b | ( a > 0, b > 0 )的最小值为1.

（Ⅰ）求 a ? b 的值；

（Ⅱ）求
的最小值

乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．

1~5 ADDCB 6~10 ACCAA 11~12 DB

1.选
.【解析】∵
，∴
，故选
.

2.选D.【解析】∵
，∴
，故选D.

3.选D．【解析】∵
,∴
∥
,又
,∴
，故选D.

4.选
．【解析】
，得
，∴
，故选
.

5.选
．【解析】∵
，令
，

由
得
，依题意有
在
是减函数，

∴
，即
，故选
.

6.选A．【解析】由图可得，故选A.

7.选
.【解析】执行第一次循环体运算，得
；

执行第二次，
；

执行第
次，
，故选
.

8.选
.【解析】∵
，∴
，∴
，故选
.

9.选
.【解析】如图，
,∴
，

∴
是
的中位线，∴
,
,

∴
,故选
.

10.选
.【解析】依题意
的图像如图所示，

由
，得
，即
.

而 0 < a + 1 < 1, b > 1

∴
，
，∴ ab < 0，∴
，故选
.

11.选
.【解析】
，∴
，
，

∴
，
,

∴
，∴
，∴
，故选
.

12.选
.【解析】令
，则
，

则
，得
为
上的奇函数，

∵
时，
，故
在
单调递增，

再结合
及
为奇函数，知
在
为增函数，

又

则
，即
.故选
.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.填
．【解析】∵
的二项式展开式的通项为
，

令
，即
，常数项为
，

依题意，有
，∴
．

14.填
．【解析】由约束条件确定的可行域如图所示，∴
的最小值为
．

15.填
．【解析】由题意知，所有基本事件有
，共
个，其中满足点数之和小于
的基本事件有

，共10个，所以所求概率为
.

16.填
．【解析】当
时，
，

即
，得
或
（舍）.

由题意得：
…①
…②

①-②得：
，即
，

∵
，∴
，∴
是以
为首项，
为公差的等差数列，

∴
.

三、解答题：第17~21题，每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．

17.（12分）．

易知
…2分

（Ⅰ）由
，解得，
，其中

∴
的单调递增区间为
； …6分

（Ⅱ）∵
,又
，∴

∵
，∴
，故，
，∴

在
中，
，且
，

∴
，

的周长

∵
，∴
，

故当
，即
时，
的周长最大，最大值为
. …12分

18.（12分）

（Ⅰ）如图，取
中点
，连结
,

∵
分别是
的中点,∴
,

∴平面
//平面
，∴
平面
； …6分

（Ⅱ）根据题意，建立如图空间直角坐标系
：

则

设平面
的法向量
，

∵

由
，得
，令
，得
，∴

同理可得平面
的一个法向量
，∴

所以二面角
的余弦值为
． …12分

19.（12分）

（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月平均用水量的中位数为
；根据物价部门对城市居民月平均用水的定价为
，其中
单位是元，
单位为吨.知平均水价为：

（元） …6分

（Ⅱ）依题意知这
户中所交水费价格少于9.45元，即每月用水量少于