汉中市2016届高三年级教学质量检测考试

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共四页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名.准考证号等项在密封线内填写清楚。

2.选择题 请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B铅笔外，其余各题请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。

3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题答题区域的答案无效，在草稿纸.试题上答题无效。

4.保持字体工整，笔记清晰，卷面清洁，不折叠。

第I卷（选择题 共60分）

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数
，
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 在等差数列{
}中,已知
+
=16,则该数列前11项和
=（ ）

A．58 B．88 C．143 D．176

3. 两向量
,则
在
方向上的投影为（ ）

A．(－1，－15) B．(－20,36) C． D．

4. 已知命题
，命题
函数
的值恒为正，则
是
的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 函数y=esinx(-π≤x≤π)的大致图象为（ ）

6. 已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩
服从正态分布
，已知
，按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽（ ）份.

A．4 B．5 C．8 D．10

7．某几何体的三视图如图示，此几何体的体积是（ ）

A．
B．

C．
D．

8．若椭圆和双曲线C：
有相同的焦点，且该椭圆经过点
，则椭圆的方程为（ ）

A．
B.
C.
D.

9．函数
的部分图像如图所示,为了得到g(x)=cos2x的图像,则只要将f(x)的图像（ ）

A.向左平移
个单位长度 B.向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D.向右平移
个单位长度

10. 设
，则二项式
的展开式中
的系数为（ ）

A. 40 B. 40 C. 80 D. 80

11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 设函数
（其中a∈R）的值域为S，若
则a的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷 (90分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.若变量
满足约束条件
则
的最小值为 .

14.动点M到点F(4，0)的距离比它到直线L:x+6=0的距离小2，则动点M的轨迹方程为 .

15.设等比数列
的公比为
，若
，
，
成等差数列，则
等于 .

16. 某工厂接到一任务，需加工6000个P型零件和2000个Q型零件。这个厂有214名工人，他们每一个人用以加工5个P型零件的时间可以加工3个Q型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件。为了在最短时间内完成这批任务，则加工P型零件的人数为 人。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分） 已知函数
．

（1）求
的最小正周期；

（2）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，且
的面积为
，求
的值。

18.（本小题满分12分）如图在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC＝，AB＝CC1＝2，∠BCC1＝，点E在棱BB1上.

（1）求C1B的长，并证明C1B⊥平面ABC；

（2）若BE＝λBB1，试确定λ的值，使得二面角A-C1E-C 的余弦

值为.

19. （本小题满分12分）为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分。根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为
；现记“该选手在回答完
个问题后的总得分为
”。

（1）求
且
的概率；

（2）记
,求
的分布列，并计算数学期望
。

20．（本小题满分12分）已知直线
：
，圆O：
，椭圆E：
(a＞b＞0)的离心率
，直线
被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过圆O上任意一点
作两条直线与椭圆E分别只有唯一一个公共点，求证:这两直线斜率之积为定值。

21. （本小题满分12分）已知函数
，

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若
且
，设
是函数
的零点，

（i）证明:当
时存在唯一
，且
；

（i i）若
，记
，证明:
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》

在
中， AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，

交BC延长线于点D。

（1）求证：
；

（2）若AC=3，求
的值。

23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在平面直角坐标系
中，已知曲线
，以平面直角坐标系
的原点O为极点，
轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.

（1）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
，试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（2）在曲线
上求一点P，使点P到直线
的距离最大，并求出此最大值.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
的解集包含
，求
的取值范围。

2016届汉中市高中数学质量检测理科答案

选择题：1-6 DBCADB 7-12 CBADAC

填空题：

13. 1 ； 14.
； 15. 4 ； 16. 137 （见北师大版必修一课本P130）

17. （1）f（x）=2cosx（
sinx+
cosx）=
sin2x+
cos2x+
=sin（2x+
）+
，…（4分）

∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π；..................................…（5分）

（2）∵f（C）=sin（2C+
）+
=1，∴sin（2C+
）=
，∵
＜2C+
＜
，

∴2C+
=
，即C=
，........................................（7分）

∵sinB=2sinA，∴b=2a①，........…（8分） ∵△ABC面积为2
，

∴
absin
=2
，即ab=8②，....…（9分）联立①②，得：a=2，b=4，....（10分）

由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=12，即c=2
．..............（12分）

18.（1）因为BC＝，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝，

在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B＝， ……………………2分

所以C1B2＋BC2＝CC，C1B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，

又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC． …………………5分

（2）由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，

以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，

则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(，0，0)，

＝(0，2，－)，＝＋λ＝＋λ＝(－λ，0，λ－)，

设平面AC1E的一个法向量为m＝(x，y，z)，则有

即

令z＝，取m＝(，1，)，………9分

又平面C1EC的一个法向量为n＝(0，1，0)，

所以cos(m，n(＝＝＝，解得λ＝．

所以当λ＝时，二面角A-C1E-C的余弦值为. ………………………12分

19. 解：(1)当
时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个。若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个。记回答每个问题正确的概率为
，则
，同时回答每个问题错误的概率为
………3分

故所求概率为：
……………6分

(2) 由
可知X的取值为10，30，50

可有

……………9分

故X的分布列为：

X

10

30

50



P











……………12分

20. 解析：　(1)设椭圆半焦距为c，

圆心O到l的距离d＝＝，.....2分

则l被圆O截得的弦长为2，所以b＝.

由题意得

又b＝，∴a2＝3，b2＝2. .....4分

∴椭圆E的方程为＋＝1. .....6分

(2)过P(x0，y0)的直线与椭圆E分别只有唯一的公共点过点，设过P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，

整理得y＝kx＋y0－kx0，

联立直线l0与椭圆E的方程得

.....8分

消去y得2[kx＋(y0－kx0)]2＋3x2－6＝0，

整理得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，

∵l0与与椭圆E分别只有唯一的公共点（即与椭圆E相切），

∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，

整理得(2－x)k2＋2x0y0k－(y－3)＝0，.....9分

设满足题意的与椭圆E分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为k1，k2，

则k1k2＝－.

∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，

∴k1k2＝－＝－1.

∴两条切线斜率之积为－1. .....12分

21.解：（1）
，.....1分

若
，则
，函数
在
上单调递增；.....3分

若
，令
，
或
，

函数
的单调递增区间为
和
；.....5分

（2）（i）a=n>0由（Ⅰ）得，
在
上单调递增，

又
........5分

=

........7分

当
时，
，
，

时存在唯一
且
.........9分

（i i）当
时，
，

.........10分

.........10分

又
，
，

， 又
，

.........11分

.........12分

命题得证.

22解：（1）
，
～
，

又
（5分）

（2）

～

，

（10分）

23解(Ⅰ) 由题意知，直线
的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分

∵曲线
的直角坐标方程为：
，

∴曲线
的参数方程为：
.………………5分

(Ⅱ) 设点P的坐标
，则点P到直线
的距离为：

，………………7分

∴当sin(600－θ)=-1时，点P(-
，此时
.…………10分

24解：（1）当
时，

或
或

或
……5分

（2）原命题
在
上恒成立

在
上恒成立

在
上恒成立

……10分

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