重庆一中高2016级2015-2016学年度高三上期第四次月考

数学试题卷（理科）2015.12

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知随机变量X服从正态分布
，且
，则
（ ）

A．
B．-1 C．0 D．4

3.已知复数
，且有
，则
（ ）

A．5 B．
C．3 D．

4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在
元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在
元的学生有30人，则n的值为（ ）

A．100 B．1000 C．90 D．900

5.已知椭圆
和双曲线
有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.在区间
内任取两个数
，则满足
概率是（ ）

A．
　B．
C．
D．

7．右图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包．

A．4 B．3 C．2 D．1

10.执行右图所示框图，若输入
，则输出的p等于（ ）

A．120 B．240 C．360 D．720

11.已知函数
图像上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

12.（原创）已知函数
，若对任意三个实数
、
、
，均存在一个以
、
、
为三边之长的三角形，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知曲线
在原点处的切线方程为
，则
________．

14.（原创）已知
的展开式中
的系数为0，则
________．

15.（原创）设
内角
的对边分别是
．若
的面积为2，
边上的中线长为
，且
，则
中最长边的长为________．

16.如右图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：
．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：

是否需要帮助 性别

男

女

合计



需要

50

25

75



不需要

200

225

425



合计

250

250

500



（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；

（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．

附：独立性检验卡方统计量
，其中
为样本容量，独立性检验临界值表为：

0.15

0.10

0.05

0．025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



18.（原创）（本题满分12分）

已知数列
的前n项和为
，且
．

（1）求出数列
的通项公式；

（2）设数列
满足
，若
对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．

树茎

树叶



2

8 2



3

8 2 1



4

4 5



6

3 8



7

7



19.（本题满分12分）

我国政府对PM2.5采用如下标准：

PM2.5日均值m（微克/立方米）

空气质量等级





一级





二级





超标





某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．

（1）求这10天数据的中位数；（2）从这10天数据中任取4天的数据，记
为空气质量达到一级的天数，求
的分布列和期望；（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记
为这一年中空气质量达到一级的天数，求
的平均值．

20.（本小题满分12分）

已知直线
被圆
截得的弦长恰与椭圆
的短轴长相等，椭圆
的离心率
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知过点
的动直线
交椭圆
于
两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
，使得无论
如何转动，以
为直径的圆恒过定点
？若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知存在实数
和
使得
，

（1）若
，求
的值；

（2）当
时，若存在实数
使得
对任意
恒成立，求
的最值．

22.（本小题满分10分）（原创）

如右图，圆
与圆
内切于点
，其半径分别为3与2，圆
的弦
交圆
于点
（
不在
上），
是圆
的一条直径．

（1）求
的值；（2）若
，求
到弦
的距离．

23.（本小题满分10分）

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为
．

（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线
将于点
、
，若点
的坐标为
，求
的值 ．

24.（本小题满分10分）（原创）

已知函数
，（1）解不等式
；（2）若对于
，有
．求证：
．

参考答案

一、选择题．（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

B

A

D

B

A

C

D

C

D

B





二、填空题．（每小题5分，共20分）

13．-1 14．2 15．
16．1

三、解答题．（共75分）

17．解：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为15%．

（2）
，

所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

18．解：（1）由已知
，令
可得
，又
，

19.解：（I）10天的中位数为
（微克/立方米）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（II）由于
，所以
，即得分布列如下：

0

1

2

3

4

















．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

所以
　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

（III）一年中每天空气质量达到一级的概率为
，由
，得到
（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146天．　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20．解：（I）则由题设可求的
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

又
，则
，所以椭圆
的方程是
．　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（II）解法一：假设存在点
，若直线
的斜率存在，设其方程为
，将它代入椭圆方程，并整理得
．　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

设点
的坐标分别为
，则
，

因为
及
，

所以

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

当且仅当
恒成立时，以
为直径的圆恒过定点
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以
，解得
，

此时以
为直径的圆恒过定点
．　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

当直线
的斜率不存在，
与
轴重合，以
为直径的圆为
也过点
．

综上可知，在坐标平面上存在一个定点
，满足条件．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

解法二：若直线
与
轴重合，则以
为直径的圆为
，

若直线
垂直于
轴，则以
为直径的圆为
，　．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

由
，解得
，由此可知所求点T如果存在，只能是
．　．．．．．7分

事实上点
就是所求的点，证明如下：

当直线
的斜率不存在，即直线
与
轴重合时，以
为直径的圆为
，过点
；

当直线
的斜率存在，设直线方程为
，

代入椭圆方程并整理得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

设点
的坐标为
，则
，因为
，所以有
，

所以
，即以
为直径的圆恒定过点
，　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

综上可知，在坐标平面上存在一个定点
满足条件．　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21解：（1）由题意

　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由题意知
关于