2015-2016闽粤部分名校联考第四次模拟考试

高三数学（理科）

命题：闽粤名校联谊试题研究中心组 审核：福建三明第二中学 广东璟表中学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知a为实数,若复数z=a2-3a-4+(a-4)i为纯虚数,则复数a-ai在复平面内对应的点位于（　）

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

(2) 设
，且
为正实数，则

(A)
(B)
(C)
(D)

（3）下列命题中是假命题的是

（A）

（B）

（C）
上递减

（D）
都不是偶函数

（4）已知向量
互相垂直，其中
，则
等于

(A)
(B)
(C)
(D)

（5）设
的展开式的各项系数和
，二项式系数和为
，若
，则展开式中
的系数为

(A)
(B)150 (C)300 (D)

（6）如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为
的直角三角形,侧视图是半径为
的半圆，则该几何体的体积是

(A)
(B)
(C)
(D)

（7）已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为

(A)
(B)

(C)
(D)

(8) 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为
和
，两个零件是否加 工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

（A）
(B)
(C)
(D)

(9)圆
关于直线
成轴对称图形，则a-b的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）抛物线
与直线x=0、x=1及该抛物线在
(0

(A)
(B)
(C)
(D)

（11）若x，y满足约束条件
，目标函数
仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是

(A) （
，2 ） (B) （
，2 ） (C)
(D)

（12）已知函数
，在点
处的切线方程为

若对于区间
上任意两个自变量的值
，都有

，则实数
的取值范围是

(A)
　 (B)
　 (C)
(D)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)函数f（x）=
，则不等式f（x）＞2的解集为 ．

（14）如果函数
在区间
上有且仅有一条平行于
轴的对称轴，则
的取值范围是 ．

（15）给出以下四个命题：

①正态曲线当
一定时曲线形状由
确定，
越小曲线越“瘦高”表示总体分布越集中；

②过点
且在
轴和
轴上的截距相等的直线方程是
；

③函数
在定义域内有且只有一个零点；

④回归方程拟合效果可用
刻画，
越接近
表示回归效果越差；

其中正确命题的序号为 ．(把你认为正确的命题序号都填上)

(16)已知锐角
的三内角
成等差数列，对应边长分别为
，满足
，且
，则
边上的高
．

三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

（17）（本小题满分12分）

在数列
中,
,且对任意的
都有
.

（Ⅰ）求证:
是等比数列；

（Ⅱ）若对任意的
都有
,求实数
的取值范围.

(18)（本小题满分12分）

如图，在长方体
中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱
，P是侧棱
上的一点，
．

（Ⅰ）试问直线
与AP能否垂直？并说明理由；

（Ⅱ）若直线AP与平面BDD1B1所成角为60o，试确定
值；

（Ⅲ）若
=1，求平面PA1D1与平面PAB所成锐二面角的大小．

(19)(本小题12分)

如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为
（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．

（Ⅰ）求某个家庭得分为
的概率？

（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？

（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为
，求
的分布列及数学期望．

（20）（本小题满分12分）

已知以原点O为中心，
为右焦点的双曲线
的离心率

(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（Ⅱ）如图，已知过点
的直线
与过点

的直线
的交点在双曲线C上，直线MN与双曲线

的两条渐近线分别交于G、H两点，求
的面积。

（21）．(本小题满分12分)

已知函数
．

(Ⅰ)若
是函数
的极值点，求曲线
在点
处的切线方程；

(Ⅱ)若函数
在
上为单调增函数，求
的取值范围；

(Ⅲ)设
为正实数，且
，求证：
．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于⊙O，弧AB＝弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．

求证：AB2＝BE·CD.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．

（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求出M、N的极坐标；

（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲

设函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值，并指出取得最小值时
的值；

（Ⅱ）若
，讨论关于
的方程
=
的解的个数。

理科数学 答案

一、选择题

（1）B (2)B （3）D （4） D（5）B （6）A

（7）A (8)B (9) A （10）A（11）B （12）A

12解：

根据题意，得
得

令
即
，解得
，

时，

由
得
选A

二、填空题：

(13) （1，2）∪（
，+∞） （14）0 （15） ①③ (16)

三，解答题：

（17）解: (1)由
,得
.

又由
,得
.

因此,
是以
为首项,以
为公比的等比数列.……5分

(2)由(1)可得
,即
,
,

于是所求的问题:“对任意的
都有
成立”可以等价于问题:“对任意的
都有
成立”.

若记
,则
显然是单调递减的,

故
.

所以,实数
的取值范围为
.………………………12分

(18)．解：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0), D1 (0,0,2)，A1 (1,0,2)，B1 (1,1,2)，C1 (0,1,2)， P(0,1,m)，所以
，

.………4分

（Ⅱ）∵

又∵
，

∴
的一个法向量.

设直线
与平面
所成的角为
，

则

=
，

解得
………8分

（Ⅲ）∵m=1，∴P(0,1,1)，∴
.

设平面PA1D1的法向量为
，可求得
，

设平面PAB的法向量为
，可求得
.

∴

故平面PA1D1与平面PAB所成锐二面角为600.…12分

(19)解：（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为
．
．

所以某个家庭得分情况为
的概率为
．…………………… 3分

（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括
共3类情况．所以
．

所以某个家庭获奖的概率为
． …………………………… 6分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
，所以
．

，

，

，

，

，

. …………………… 10分

所以
分布列为：

0

1

2

3

4

5



















 所以
．…………………………………… 12分

（20）解：（1）设C：
，由题意
，

因此
，则曲线C的标准方程为
，

渐近线方程为
——5分

（2）由题意点
在直线
，因此有

故点M,N均在直线
上，

因此直线MN的方程为
，

设G,H分别是直线MN与渐近线
，

由方程组
解得
，

设MN与
轴的交点为
,则在直线
中令
，得
（易得
），注意到
，

得

（21）解: （Ⅰ）

由题意知
，代入得
，经检验，符合题意。

从而切线斜率

，切点为
，

切线方程为

（Ⅱ）

因为
上为单调增函数，所以
上恒成立.

所以
的取值范围是

（Ⅲ）要证
，只需证
，

即证
只需证

由（Ⅱ）知
上是单调增函数，又
，

所以
，即
成立

所以
。

（22）证明：　连结AC.

因为EA切⊙O于A，所以∠EAB＝∠ACB.

因为弧AB＝弧AD，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.

于是∠EAB＝∠ACD.

又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.

所以△ABE∽△CDA.

于是＝，即AB·DA＝BE·CD，所以AB2＝BE·CD.

（23）解：(1)将极坐标方程ρcos＝1化为：

ρcosθ＋ρsinθ＝1.

则其直角坐标方程为：x＋y＝1，M(2,0)，N(0，)，其极坐标为M(2,0)，N.

(2)由(1)知MN的中点P.

直线OP的直角坐标方程为y＝x，化为极方程为：ρsinθ＝·ρcosθ.

化简得tanθ＝，即极坐标方程为θ＝.

（24） 解：

（Ⅰ）∵

∴
，当且仅当
时
取最小值。

（2）
，设

则

，可知，

当
，或
或
时，原方程有2个解；

当
时，原方程有1个解；

当
时，原方程有0个解.

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