2016届陕西省咸阳市兴平市高三第一次质量检测数学试题.

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卷中．

1.命题“
”的否定是（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则
（ ）

A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i

3．设集合
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．设函数
，则函数
有零点的区间是( )

A．
B．
C．
D．

5. 若
,则下列不等式成立的是( )

A.
B.
C.
D.

6. 函数

，则下列不等式一定成立的是( )

A．
B．
C．
D．

7.已知向量
，其中
，且
，则向量
与
的夹角是（ ）

A．
B.
C.
D.

8. 椭圆
的左、右顶点分别为
，左、右焦点分别为
,若
成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)

A.
　 　 B.
C.
D.

9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A.
B.
C.
D.60

10.函数
的图象大致是

11、关于函数
，有下列命题:

① 其表达式可写成
；

② 直线
图象的一条对称轴；

③
的图象可由
的图象向右平移
个单位得到；

④ 存在
，使
恒成立.

其中，真命题的序号是 （ ）

A．②③ B．①② C．②④ D．③④

１２．定义
，函数
的图象与
轴有两个不同的交点，则实数
的取值范围是 ( )

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）

13. 已知数列
中，
，则数列
通项公式
=____________

14. 设
满足约束条件：
则
的取值范围为 ____ .

15. 设
，则不等式
的解集为 ____ .

16. 已知
，若
恒成立，则实数
的取值范围是____

三、解答题：本大题共6小题，，17-21小题每题12分，22---24小题为选做题考生从三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，22---24小题10分，共70分。

17.(本题满分12分)已知函数
，
．

（I）若
，求函数
的最大值和最小值，并写出相应的x的值；

（II）设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，满足
，
且
，求
、
的值.

18．(本题满分12分)为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为
）进行统计.按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（1）求样本容量
和频率分布直方图中的
、
的值；

（2）（理科必做）：在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量
表示所抽取的3名学生中得分在
内的学生人数，求随机变量
的分布列及数学期望．

（文科必做）：在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的3名学生中得分在
内的概率。

19. (本题满分12分)如题（19）图，三棱锥
中，
平面
分别为线段
上的点，且

（1）证明：
平面
（2）（理科必做）：求二面角
的余弦

（文科必做）：求点C到平面PDE的距离。

20. (本题满分12分)已知椭圆
上两个不同的点
，
关于直线
对称．

（1）求实数
的取值范围；

（2）求
面积的最大值（
为坐标原点）．

21. (本题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋ln x.

(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；

(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．

请考生在22—24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点.连接OD交圆O于点M.求证：

(1)O，B，D，E四点共圆；

(2)2DE2＝DM·AC＋DM·AB．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中α为参数，α∈R).在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝a．

(1)把曲线C1和C2的方程化为直角坐标方程；

(2)若曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为，求曲线C2的直角坐标方程．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a．

(1)若a＝1，求不等式的解集；

(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．

数学试题答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

A

D

D

B

B

B

A

B

C

A



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）

13.
14. -5/3≤ z ≤3

15.
16. （-4， 2）

17.解
令

。

当
即
时，

当
即
时，
；

（Ⅱ）
，则
，
,
,所以
，

所以
，

因为
，所以由正弦定理得

由余弦定理得
，即

由①②解得：
，

18.解：（1）由题意可知，样本容量
，
，

.

（2）理科答案：

由题意可知，分数在
内的学生有5人，分数在
内的学生有2人，共7人.抽取的3名学生中得分在
的人数
的可能取值为1，2，3，则

，
，
.

1

2

3













所以
的分布列为

所以
.

（文科略）

19题 (1)证明：由PC
平面ABC，DE
平面ＡＢＣ，故PC
DE

由CE＝２，CD=DE＝
得
ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD
DE

由PC
CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE
平面PCD

(2)理科答案：

解：由（１）知，
CDE为等腰直角三角形，
DCE＝
，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，

故FB＝２．

由
ACB＝
得DF
AC，
，故AC＝
DF＝
．

以Ｃ为坐标原点，分别以
的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，Ａ(
,0,0),

Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，

,

设平面
的法向量
，

从而法向量
，
的夹角的余弦值为
，

故所求二面角A-PD-C的余弦值为
.

（文科略）

20题。解（1）由题意知
，可设直线AB的方程为
，由
，

消去
，得
，∵直线
与椭圆
有两

个不同的交点，∴
，①，将AB中点
代入直线

方程
解得
，②。由①②得
或
；

（2）令
，则
，且O到直线AB

的距离为
，设
的面积为
，

∴
，当且仅当
时，等号成立，故

面积的最大值为
.

21题。(1)解　当x∈[1，e]时，f′(x)＝x＋>0，

所以f(x)在区间[1，e]上为增函数．

所以当x＝1时，f(x)取得最小值；

当x＝e时，f(x)取得最大值e2＋1.

(2)证明　设h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－ln x，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝2x2－x－＝＝.当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以h(x)>h(1)＝>0.所以对于x∈(1，＋∞)，g(x)>f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方．

２２．证明：

(1)如图，连接BE，OE，则BE⊥EC.

又D是BC的中点，所以DE＝BD.

又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB，

所以∠OBD＝∠OED＝90°，所以D，E，O，B四点共圆.

(2)延长DO交圆O于点H.

因为DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH＝DM·＋DM·，

所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.

２３．解：(1)曲线C1：变形3sin α＝2－x,3cos α＝y＋2，

两式的平方和为：(x－2)2＋(y＋2)2＝9，

曲线C2：展开式为(ρcos θ＋ρsin θ)＝a，

∴x＋y＝a.

(2)曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为，则圆C1的圆心到直线C2的距离为R－＝3－＝，

由点到直线的距离公式得：＝，

∴a＝±，

∴曲线C2的直角坐标方程：x＋y＝±.

２４．解：(1)当a＝1时，不等式即为2|x－3|＋|x－4|<2，

若x≥4，则3x－10<2，x<4，∴舍去；

若3

若x≤3，则10－3x<2，∴

综上，不等式的解集为.

(2)设f(x)＝2|x－3|＋|x－4|，则

f(x)＝∴f(x)≥1，

∴2a>1，a>，即a的取值范围为.

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