高2016届一诊模拟考试

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

如果复数
为纯虚数，那么实数a的值为

-2 B.1 C.2 D.1或-2

2.已知集合
，
，则

A.
B.(1,3) C.
D.(1,2)

3.直线l过点(0,2)，被圆
截得的弦长为
，则直线l的方程是

A.
B.
C.y=2 D.
或y=2

4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为

A.
B.
C.
D.

已知各项不为0的等差数列
满足
，数列
是等比数列，且
，则
=

A.1 B.8 C.4 D.2

已知函数f(x)是定义在
上的奇函数，若对于任意的实数
，都有
，且当
时，
，则
的值为

-1 B.-2 C.2 D.1

对于函数f(x)=xcosx，现有下列命题：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是
；③点
是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间
上单调递增.其中是真命题的为

②④ B.①④ C.②③ D.①③

在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知
，且
，则b=

A.6 B.4 C.2 D.1

已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是

B.
C.
D.6

抛物线
的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最大值为

A.2 B.
C.1 D.

若函数f(x)在[a,b]上的值域为
，则称函数f(x)为“和谐函数”.下列函数中：①
；②
；③
；④
.“和谐函数”的个数为

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知函数
则
_______.

14.二项式
的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_____.

15.△ABC中，∠A=120°，∠A的平分线AD交边BC于D，且AB=2，CD=2DB，则AD的长为_____

16.A，B，C，D四点在半径为
的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=
，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是______.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知数列
的首项
，且满足
.

求数列
的通项公式；

设
，求数列
的前n项和
.

（本小题满分12分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，...，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图，统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；‘

若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60)记0分，在[60,80)记1分，在[80,100]记2分，用
表示抽取结束后的总记分，求
的分布列和数学期望.

（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱
中，底面是边长为1的正方形，侧棱
，E是侧棱
的中点.

求证：平面
⊥平面
；

求二面角
的正切值.

（本小题满分12分）

椭圆
，作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为
，直线OM的斜率为
，
.

求椭圆C的离心率；

设直线l与x轴交于点
，且满足
，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程.

（本小题满分12分）

已知函数
.

若
恒成立，试确定实数k的取值范围；

证明：
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2.

求证：
；

求线段BC的长度.

（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线C的参数方程为：
为参数），直线l的参数方程为：
为参数），点P(2,1)，直线l与曲线C交于A，B两点.

写出曲线C和直线l在直角坐标系下的标准方程；

求
的值.

（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数
的定义域为R，试求a的取值范围；

已知实数x，y，z满足x+2y+3z=1，求
的最小值.

高2016届一诊模拟考试理科数学参考答案

选择题

1-5 ADDCB 6-10 ABACD 11-12BC

【解析】

1.
即a=-2，故选A.

4.
，故选C.

5.设等差数列的公差是d，由
，
，解得
或者
（舍去），所以
，故选B.

6.由已知f(x)为R上的奇函数，且对于任意的实数
，都有
，则
，故选A.

7.f(0)=0，
，
，所以②错；f(0)=0，
，
，所以③错，故选B.

8.由题意，当直线
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数
取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而
，故选A.

9.
，又
，代入得b=2，故选C.

10.如图，根据三视图间的关系可得
，∴侧视图中
，∴三棱锥侧视图面积
，故选D.

11.过A，B分别作抛物线准线的垂线AQ，BP，垂足分别为Q，P，连接AF，BF，设
，
.由抛物线定义及余弦定理得：
，
，由均值不等式得：
，故选B.

12.由题意知，若f(x)在区间[a,b]上单调递增，须满足：
，
，结合图象知：①②正确，④错误.若f(x)在区间[a,b]上单调递减，须满足：
，
，对于③，代入有
，ab=2即可.例如：
满足题意，所以③正确，故选C.

二、填空题

13.
【解析】
.

14.-20 【解析】由题意知，展开式中有7项，n=6，
，6-2r=0，解得r=3，所以常数项为-20.

15.
【解析】由题意B，C，D三点共线，且
，则
，根据角平分线的性质
，所以AC=4，
，所以
.

16.20 【解析】如图，设长方体的三条棱长分别为a，b，c，则有
，
，
，解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积是20.

解答题

解：（1）整理得
， ....................................3分

所以
，所以
. ....................................6分

由（1）知，
， ....................................7分

，①

，② ....................................9分

①-②有
，

解得：
. ....................................12分

解：（1）设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有
，可得x=0.3.

所以频率分布直方图如图所示. .....................................4分

估计本次考试的平均分为

. ....................6分

学生成绩在[40,60)的有
人，在[60,80)的有
人，

在[80,100]的有
人，并且
的可能取值为0,1,2,3,4. ......................7分

则
；
，
；

；
. ..........................9分

所以
的分布列为

...................................11分

. ........................12分

（1）证明：如图，在矩形
中，E为
中点且
，AB=1，

所以
，所以
为等腰直角三角形，

. .......................................2分

在直四棱柱
中，因为底面是边长为1的正方形，

所以
平面
.

又因为
平面