重庆一中高2016级2015-2016学年度高三上期第四次月考

数学试题卷（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知
为虚数单位，若复数
满足
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知集合
，则
等于（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

3.函数
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.在等比数列
中，公比
，则数列
的前10项和
等于（ ）

A．511 B．2012 C．2013 D．2014

5．若向量
、
满足
则向量
与
的夹角等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7．执行如下图所示的程序框图，输出
的值 为（ ）

A．0 B．-1 C．
D．

8．如上图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知点
为抛物线
上的动点（不含原点），过点
的切线交于
轴于点
，设抛物线
的焦点为
，则
一定是（ ）

A．钝角 B．锐角 C．直角 D．上述三种情况都可能

10．已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
的值为（ ）

A．-3 B．
C．
D．3

11．已知曲线
与
轴的交点为
，分别由
两点向直线
作垂线，垂足为
，沿直线
将平面
折起，使平面
平面
，是四面体
的外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
的两个极值点分别为
，且
，点
表示的平面区域为
，若函数
的图像上存在区域
内的点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分．

13.在边长为2的正方形
内部任取一点
，则满足
的概率为________．

14.把函数
的图象向右平移
个单位，得到
的图象，则函数
的解析式是________．

15.已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，椭圆的离心率为
，双曲线的离心率
，则
________．

16.已知数列
的前n项和为
，令
，记数列
的前n项为
，则
________．

三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，
，
，角
的平分线
交
于点
，设
；（1）求
和
；（2）若
，求
的长．

18.央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数
与雾霾天数
进行统计分析，得出下表数据．

4

5

7

8





2

3

5

6



（1）请画出上表数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归直线方程
；

（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．

（相关公式
）

19.（本小题满分12分）

如图，四边形
为矩形，
平面
，
分别是
的中点，
，

（1）求证：
平面
；（2）求三棱锥
的体积．

20.（本题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点为
，点
是椭圆
上任意一点，且
的面积的最大值为
．（1）求椭圆
的方程；（2）过
作垂直于
轴的直线
交椭圆于
两点（点
在第一象限），
是椭圆上位于直线
两侧的动点，若
，求证：直线
的斜率为定值．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
为常数，（1）当
时，求
的极值；（2）若
是区间
内的单调递增函数，求实数
的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线
相切？请说明理由．

22.（本小题满分10分）如图，
是圆
的一条切线，切点为
，直线
都是圆
的割线，已知
，求证：
．

23.在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数，
），以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，若圆
上的点到直线
的最大距离为3，求
的值．

24.（本小题满分10分）已知函数
，且满足
的解集不是空集，（1）求实数
的取值范围；（2）求
的最小值．

参考答案

填空题

1—5 DBBCD 6---10 AACCB 11---12 BC

二、填空题：

13．
14．
15．4 16．　-2014

三、解答题：

17．解：（1）
，

，

（2）由
且
，所以解得
，

由余弦定理得：
，

所以

18．解：（1）散点图如图所示：

（2）
，
，
，

，则
,

，故线性回归方程为
，

（3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7天．

19．解：

（1）∵
，
为
的中点，∴
，

∵
平面
，
平面
，∴

∵
，
是平面
内的两条相交直线，

∴
，

∵
，∴
，

∵
，∴

∵
是平面
内的两条相交直线

∴
平面

（2）

20．解：（1）由题
①，
的最大面积为
即是
②

由方程组
，所以椭圆方程为：

（2）
，设
直线
方程为：
，

代入椭圆
得：
，

所以
，又由题
是椭圆上位于直线
两侧的动点，

若
，等价于：

化简得：
，所以当
时上式恒成立．

所以直线
的斜率为定值，且等于
．

另解：可以设直线
的斜率求
的坐标，再求斜率．

21．解：（1）当
时，

所以
在区间
内单调，在区间
内单调递增，于是
有极小值
，无极大值．

（2）易知
在区间
内单调递增，

所以由题意可得
在
内恒成立，即
在
内恒成立，

所以
，因为函数
在
时单减，

所以
所以
，的数
取值范围是
．

（3）设切点为
，则切线方程为：
，

因为过原点，所在
，化简得

设
则
，

所以
在
内单调递增，又
，故方程
有唯一实根
，

所以满足条件的切线只有一条．

22．

证明：∵
为切线，
为割线，∴
，

又∵
，∴
，

∴
，又∵
，

∴
，

∴
，

又∵
，

∴
，

∴
．

23．解：圆
的参数方程为
（
为参数，
），消去参数
得：

，所以圆心
，半径
，

直线
的极