汉中市2016届高三年级教学质量检测考试

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共五页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名.准考证号等项在密封线内填写清楚。

2.选择题 请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B铅笔外，其余各题请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。

3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题答题区域的答案无效，在草稿纸.试题上答题无效。

4.保持字体工整，笔记清晰，卷面清洁，不折叠。

第I卷（选择题 共60分）

选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数
，
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.已知命题
， 命题

； 则
是
的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.在等比数列{
}中,已知
，则该数列前6项和
=（ ）

A．31 B．63 C．127 D．176

4.两向量
,则
在
方向上的投影为(　)

A．(－1，－15) B．(－20, 36) C． D．

5. 函数
的图象可能是（　　）

　

A． B． C． D．

6. 在区间[-5，5]内随机地取出一个数
，使得
的概率为( )

A.
B.
C.
D.

7．若椭圆和双曲线C：
有相同的焦点，且该椭圆经过点
，则椭圆的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图像，则只需将
的图像 （ ）

A．向右平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位 D．向左平移
个长度单位

9. 某三棱锥的侧（左）视图，俯视图如图所示，则该三棱锥

正（主）视图的面积是（ ）

A．2 B．3

C．
D.

10．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：

加工零件数x(个)

10

20

30

40

50



加工时间y(分钟)

64

69

75

82

90



经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是(　　)

A.成正相关，其回归直线经过点(30，75) B.成正相关，其回归直线过点(30，76)

C.成负相关，其回归直线经过点(30，76) D.成负相关，其回归直线过点(30，75)

11．设顶点都在一个球面上的三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2，则该球的表面积为（ ）

A．
B.
C.
D.

12. 已知函数
对定义域
内的任意
都有
=
，且当
时其导函数
满足
若
则( )

A．
B．

C．
D．

第II卷(90分)

第（13）题~第（21）题为必考题，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.若变量
满足约束条件
，则
的最小值为 .

14.已知圆C的半径为2，圆心在
轴的正半轴上，直线
与圆C相切，则圆C的方程为 .

15. 已知等差数列{an}的公差d≠0，首项
，且
依次成等比数列，则该数列的通项公式
=　　.

16.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得
次测量分别得到
共
个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”
是这样一个量：与其他近似值比较，
与各数据差的平方和最小。依此规定，用
表示出
的表达式为:
= .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分） 已知函数
．

（1）求
的最小正周期；

（2）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，且
的面积为
，求
的值。

18. (本小题满分12分） 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，

BC＝1，E、F分别是A1C1 、BC的中点．

（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：C1F∥平面ABE；

（3）求三棱锥B－AEC的体积。

19. (本小题满分12分）从某学校的1600名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按照如下方式分成八组：第一组
，第二组
，……，第八组
，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，第六组的人数为4人。

（1）求第七组的频率；

（2）试估计该学校1600名男生中身高在180cm （含180cm）以上的人数；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽两名男生，设他们的身高分别为
，记事件
，求事件
的概率。

20. (本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
；斜率为1的直线
与椭圆
交于
、
，以
为底边作等腰三角形，顶点为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的面积。

21．(本小题满分12分）已知函数
，

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若
且
，设
是函数
的零点，证明: 当
时存在唯一
，且
。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》

在
中， AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，

交BC延长线于点D。

（1）求证：
；

（2）若AC=3，求
的值。

23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在平面直角坐标系
中，已知曲线
，以平面直角坐标系
的原点O为极点，
轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.

（1）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
,试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（2）在曲线
上求一点P，使点P到直线
的距离最大，并求出此最大值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

当
时，求不等式
的解集；

若
的解集包含
，求
的取值范围。

2016届汉中市高中数学质量检测文科答案

选择题：1-6 DABCBA 7-12 BACBDC

填空题：13. 1 14.
;

15. n+3 16.
（见北师大版必修一课本）

17.

（1）f（x）=2cosx（
sinx+
cosx）=
sin2x+
cos2x+
=sin（2x+
）+
，…（4分）

∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π；.................................（5分）

（2）∵f（C）=sin（2C+
）+
=1，∴sin（2C+
）=
，∵
＜2C+
＜
，

∴2C+
=
，即C=
，........................................（7分）

∵sinB=2sinA，∴b=2a①，........…（8分） ∵△ABC面积为2
，

∴
absin
=2
，即ab=8②，....…（9分）联立①②，得：a=2，b=4，...（10分）

由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=12，即c=2
．...........（12分）

18.

(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中， BB1⊥底面ABC， 所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B， 所以AB⊥平面B1BCC1， 又因为AB?平面ABE，

所以平面ABE⊥平面B1BCC1. .....（4分）

(2)证明 因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC……..（6分）

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形． 所以C1F∥EG.

又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. .....（8分）

(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝＝.....（10分）

所以三棱锥E－ABC的体积V＝S△ABC·AA1 ＝×××1×2＝......（12分）

19. 解：（1）第六组的频率为
，所以第七组的频率为：

；.....（4分）

（2）由直方图得到后三组的频率为
，所以估计该校1600名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为
人.....（8分）

（3）第六组
的人数为4人，设为
，第八组
的人数为2人，设为A，B，则有
,共15种情况。因为事件
发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为
共7种情况，故

..... .....（12分）

20.解：（1）由已知得
，解得

又
，所以椭圆
的方程为
.....（5分）

设直线
的方程为
……（6分）

由
得
①

设
、
，线段
的中点为
，则

，
……（8分）

因为
是等腰
的底边，所以
，

所以
解得
……（9分）

此时，方程①为
解得

所以

则
……（10分）

这时，点
到直线
的距离为：

， ……（11分）

所以
的面积为
……（12分）

21. 解：（Ⅰ）
，......(2分)

若
，则
，函数
在
上单调递增；

若
，令
，
或
，

函数
的单调递增区间为
和
；......(6分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
在
上单调递增，

又
，......(8分)

=

......(10分)

当
时，
，
，

时存在唯一
且
........（12分）

22

解：（1）
，
～
，

又
（5分）

（2）

～

，

（10分）

23解(Ⅰ) 由题意知，直线
的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分

∵曲线
的直角坐标方程为：
，

∴曲线
的参数方程为：
.………………5分

(Ⅱ) 设点P的坐标
，则点P到直线
的距离为：

，………………7分

∴当sin(600－θ)=-1时，点P(-
，此时
.…………10分

24解：（1）当
时，