2016年沈阳市高三教学质量监测（一）

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．

3. 考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知
为虚数单位，则复数
所对应的点在（ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设全集
，集合
，
,则下列结论正确的是（ ） A．
B．

C．
D．

3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）

A．
B．

C．
D．

4. 已知两个非零向量
满足
，且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）



6.设等差数列
满足
，
，
是数列
的前n项和，则使得

最大的自然数
是（ ）

A．9 B.
C.
D.

7. 某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（ ）

A．
B．

C．
D．

8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，

则输出的结果是（ ）

A．
B．0 C．
D．

9．实数
满足
，则

的最大值是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

10.已知
是双曲线
上任意一点，过点
分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为
、
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．不能确定

11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）

A．24种 B．28种 C．32种 D．36种

12.已知函数
的图象在点
处的切线为
，若
也与函数
，
的图象相切，则
必满足（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

13.已知
，则
=____________.

14.已知抛物线
的焦点为
，准线为
，
为抛物线上一点，过
作

于点
，当
（
为坐标原点）时,
____________.

15.设数列
的前
项和为
，且
，
，则
____________.

16.已知函数
若方程
恰有一个解时，则实数
的取值范围 .

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分)

在
中，角
、
、
对应的边分别是
、
、
，
，且
.

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)若
的面积是1，求边
.

18. (本小题满分12分)

已知长方体
中，
，
，

为
的中点，如图所示.

(Ⅰ)在所给图中画出平面
与平面
的

交线（不必说明理由）；

(Ⅱ)证明：
平面
；

(Ⅲ)求平面
与平面
所成锐二面角的大小.

19. (本小题满分12分)

　某中学根据2002—2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为
、
、
，已知三个社团他都能进入的概率为
，至少进入一个社团的概率为
，且
.

(Ⅰ)求
与
的值；

(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.

20.（本小题满分12分）

　　已知椭圆
的中心在坐标原点，左、右焦点
、
分别在
轴上,离心率为
，在其上有一动点
，
到点
距离的最小值是1.过
、
作一个平行四边形，顶点
、
、
、
都在椭圆
上，如图所示.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)判断
能否为菱形，并说明理由.

(Ⅲ)当
的面积取到最大值时，

判断
的形状，并求出其最大值.

21.（本小题满分12分）

已知函数
（
）在其定义域内有两个不同的极值点.

(Ⅰ)求
的取值范围；

(Ⅱ)记两个极值点分别为
，
，且
.已知
,若不等式
恒成立,求
的范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，两个圆相内切于点
，公切线为
，外圆的弦
，
分别交内圆于
、
两点，并且外圆的弦
恰切内圆于点
.

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)证明：
.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在以直角坐标原点
为极点，
的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线
的方程是
，将
向上平移1个单位得到曲线
.

(Ⅰ)求曲线
的极坐标方程；

(Ⅱ)若曲线
的切线交曲线
于不同两点
,切点为
.求
的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知命题“
，
”是真命题，记
的最大值为
，

命题“
，
”是假命题，其中
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)求
的取值范围.

2016年沈阳市高三教学质量监测（一）

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一．选择题

1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A 11.B 12.D

题1A

，其对应的点为
，故选A.

题2D 化简集合

，从而A、C错，
，故选D.

题3C A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或
），故选C.

题4B 由题
， 而

，故选B.

题5B

题6A 解出
的公差
，于是
的通项为

，可见
是减数列，且
，
，于是
，
，
，从而该题选A.

题7C 不妨令该函数解析式为
，由图知
，

，

于是
，即
，
是函数减时经过的零点，于是
，
，所以
可以是
，选C.

题8B 由框图知输出的结果
，因为函数
的周期是6，所以

，故选B.

题9B 依题画出可行域如图，可见
及内部区域为可行域，

令
，则
为直线

在
轴上的截距，

由图知在点
处
取最大值是4，在

处最小值是-2，所以
，

所以
的最大值是4,故选B.

题10A 令点
，因该双曲线的

渐近线分别是
，
，

所以

，

，又

，

所以



，选A.

此题可以用特殊位置法解决：令P为实轴右顶点，此时

，选A.

题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：
；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有
种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集），在第二情况下有1种分法（剩下三名同学各分到一本小说），在第三情况下有
种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说），这样第二步骤共有情况数是

，故本题的答案是
，选B.

解法2：将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有
种；2、bb,a,a,a, 此种情况有
种；3、

Ab,a,a,b, 此种情况有
种，总共有
种，故选B

题12D 由题
，
，所以
的方程为

，因为
也与函数
的图象相切，令切点坐标为
，
，所以
的方程为

，这样有