东北育才学校高中部2016届高三第三次模拟数学试题（理科）

时间：120分钟 试卷满分：150分命题：高三数学备课组

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.已知集合
，
，则

A.
B．
C．
D．

2.命题“若
，则
且
”的逆否命题

A．若
，则
且
B．若
，则
或

C．若
且
，则
D．若
或
，则

3.复数
（
为虚数单位），则复数
的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

4.
等于

A．0 B．
C．
D．2

5.数列
的前n项和为
，若
，则

A．20 B．15 C．10 D.-5

6.函数
的定义域和值域都是
，则

A．
B．

C．
D．

函数

的

部分图象如图所示，若
，且

，则

A．
　 B．
C．
D．

在平面直角坐标系
中，过定点
的直线
与曲线
交于
点，则

A.2 B.4 C.6 D.8

9.设
满足约束条件
，向量
，且
，则

的最小值为

A．-2 B.2 C.6 D.-6

10.在
中，内角
的对边分别为
,若
的面积为
,且

, 则
等于

A.

B.
C.
D.

11.已知关于
的不等式

的解集为空集，则
的最小值为

A．
B．2 C．
D．4

12.已知
，方程
有四个实数根，则
的取值范

围为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知圆
，直线
与圆
相交于点
，且
，则弦

的长度为 ．

14.定义在R上的奇函数
满足
则

= ．

15.设
是定义在
上的恒不为零的函数，对任意实数
，都有

，若
，则数列
的前
项和

的取值范围是 ．

16.已知函数
,则函数
的最大值与最小值的差是

________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若函数
在区间
的最小值为
，求实数
的值．

18.（本小题满分12分）

已知
.函数
的图象经过点
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期与单调递增区间．

（本小题满分12分）

已知数列
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求适合方程
的正整数
的值.

20.（本小题满分12分）

定长为3的线段AB的两个端点
分别在
轴，
轴上滑动，动点
满足
.

（Ⅰ）求点
的轨迹曲线
的方程；

（Ⅱ）若过点
的直线与曲线
交于
两点，求
的最大值.

（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求证：
图象关于点
中心对称；

（Ⅱ）定义
，其中
且
，求
；

（III）对于(Ⅱ)中的
，求证：对于任意
都有
．

（本小题满分12分）

已知函数
，其中
是自然对数的底数．

（Ⅰ）判断函数
在
内的零点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）
，使得不等式
成立，试求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若
，求证：

东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.D 9.D 10.C 11.D 12.B

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.
14.-2 15.
16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（Ⅰ）由
得

的定义域为
……………4分

（Ⅱ）

令

当

…………7分

当
则

又

综上得
………………10分

18.解：（1）因为函数
的图象经过点
，

所以
．即
．

即
．

解得
． ……………………………4分

（2）由（1）得，

． ………………………6分

所以函数
的最小正周期为
． ……………………8分

因为函数
的单调递增区间为

，

所以当

时，函数
单调递增，

即

时，函数
单调递增．

所以函数
的单调递增区间为

． ………12分

19.（Ⅰ）
时，

时，
，

是以
为首项，
为公比的等比数列，

…………6分

（Ⅱ）
………8分

…………10分

…………12分

20.解：（Ⅰ）设A（
，0），B（0，
），P（
），由
得，
，即
，————————————————————2分

又因为
，所以
，化简得：
，这就是点P的轨迹方程。 ——————————————————4分

（Ⅱ）当过点（1,0）的直线为
时，

当过点（1,0）的直线不为
时可设为
，A（
，
），B（
，
）联立
并化简得：
，由韦达定理得：
，
，———————6分

所以
—10分

又由
恒成立，所以
，对于上式，当
时，

综上所述
的最大值为
…………………………………………12分

（Ⅰ）解：

所以
图象关于点
中心对称 ……2分

（Ⅱ） ∵
……①

∴
……②

①+②，得
，∴
……6分

（III）当
时，由（2）知
，

于是
等价于
…7分

令
，则
，

∴当
时，
，即函数
在
上单调递增，又g(0)=0.

于是，当
时，恒有
，即
恒成立.

故当
时，有
成立，取
，

则有
成立. ……12分

22.解：（Ⅰ）函数
在
上的零点的个数为1

理由如下：

因为
，所以
．

因为
，所以
，

所以函数
在
上是单调递增函数

因为
，
，

根据函数零点存在性定理得

函数
在
上的零点的个数为1． 3分

（Ⅱ）因为不等式
等价于
，

所以
，使得不等式
成立，等价于

，即
．

当
时，
，故
在区间
上单调递增，所以
时，
取得最小值
．

又
，由于
，

所以

，故
在区间
上单调递减，

因此，
时，
取得最大值
．

所以
，所以
．

所以实数
的取值范围是
． 7分

（Ⅲ）当
时，要证
，只要证
，

只要证
，

只要证
，

由于
，只要证

下面证明
时，不等式
成立．

令
，则
，

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增．

所以当且仅当
时，
取得极小值也就是最小值为1．

令
，其可看作点
与点
连线的斜率，

所以直线
的方程为：
，

由于点
在圆