2015—2016学年度上学期

东北育才高中部第三次模拟数学（文科）试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y=（X∩Y）．对于任意集合X，Y，Z，则（ X*Y ）*Z=A．（X∪Y）∩Z B．（X∩Y）∩Z C．（X∪Y）∩Z D．（X∩Y）∪Z

2．设命题p：“若对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a，则a＜3”；命题q：设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使
，则（　　）

A．p∧q为真命题 B．p∨q为假命题 C．￢p∧q为假命题 D．￢p∨q为真命题

3．函数y=f（x）的图象为C，而C关于直线x=1的对称图象为C1，将C1向左平移一个单位后得到C2，则C2所对应的函数为（　　）

A．y=f（﹣x） B．y=f（1﹣x） C．y=f（2﹣x） D． y=f（3﹣x）

4．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若Ai（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有
?
=
?
，则点Ai（i=1，2，3，…，n）在（　　）

A．过A点的抛物线上 B．过A点的直线上

C．过A点的圆心的圆上 D．过A点的椭圆上

5．关于函数y=tan（2x﹣
），下列说法正确的是（　　）

A．是奇函数 B．在区间（0，
）上单调递减

C．（
，0）为图象的一个对称中心 D．最小正周期为π

6．在边长为1的正三角形ABC中，设
，
，则
?
=（　　）

A．﹣
B．
C．﹣
D．

7．已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

8．在等差数列an中，a1=﹣2008，其前n项的和为Sn，若
，则S2008的值等于（　　）

A．﹣2007 B．﹣2008 C．2007 D．2008

9．已知x＞0，y＞0，且
+
=1，若x+2y＞m2﹣2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（2，4） B．（1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，4）

10．已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对于任意x∈R，f（2+x）﹣f（2﹣x）=0；③当x∈[0，2]时，f（x）=x．若过点（﹣1，0）的直线l与函数y=f（x）的图象在x∈[0，16]上恰有8个交点，在直线l斜率k的取值范围是（　　）

A．（
，
） B．（0，
） C．（0，
） D．（0，
）

11．已知动点P（x，y）在椭圆C：
+
=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|
|=1且
?
=0，则|
|的最大值为（　　）

A．
B．
C．8 D．63

12．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足：（x﹣1）[f′（x）﹣f（x）]＞0，f（2﹣x）=f（x）e2﹣2x，则下列判断一定正确的是（　　）

A．f（1）＜f（0） B．f（2）＞ef（0） C．f（3）＞e3f（0） D．f（4）＜e4f（0）

第Ⅱ卷

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 已知圆
，直线
与圆
相交于点
，且
，则弦
的长度为 ．

14.定义在R上的奇函数
满足
则
= ． -2

15．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2 是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1?e2 的取值范围为　　　　　　．

16．函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有　　　　　　．

①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=3x （x∈R）；

③f（x）=
（x≥0）；④f（x）=|x|（x∈R）．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若函数
在区间
的最小值为
，求实数
的值．

18．（本题满分12分）

在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
=（cosB，cosC），
=（2a+c，b），且
⊥
．

（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；

（Ⅱ）若b=
，a+c=4，求△ABC的面积．

19．（本题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，函数f（x）=
px3﹣
（p+q）x2+qx+q（其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x=a1时，函数f（x）取得极小值、点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上．

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

20．（本题满分12分）

定长为3的线段AB的两个端点
分别在
轴，
轴上滑动，动点
满足
.

（Ⅰ）求点
的轨迹曲线
的方程；

（Ⅱ）若过点
的直线与曲线
交于
两点，求
的最大值.

21．（本题满分12分）

已知点
为抛物线
的焦点，点
是准线
上的动点，直线
交抛物线
于
两点，若点
的纵坐标为
，点
为准线
与
轴的交点．

（Ⅰ）求直线
的方程；（Ⅱ）求
的面积
范围；

（Ⅲ）设
，
，求证
为定值．

22．（本题满分12分）

已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：
．

东北育才高中部第三次模拟数学（文科）答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.A 8.B 9.D 10.A 11.B 12.C

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.
14.-2 15. （
，+∞） 16. ①③

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（Ⅰ）由
得

的定义域为
……………4分

（Ⅱ）

令

当

…………7分

当
则

又

综上得
………………10分

18. 解答】（Ⅰ）∵
⊥
，

∴cosB?（2a+c）+cosC?b=0∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosB=0，

整理得cosB=﹣
，∠B=
，

∵y=sin2A+sin2C=2sin（
）cos（
）=2sin（A+C）cos（A﹣C）=2sinBcos（A﹣C）=
cos（A﹣C），∵0＜∠A=
﹣∠C＜
，
＞∠C＞0

∴﹣
＜﹣C＜
∴
＜cos（A﹣C）≤1∴
＜y≤
．

Ⅱ）由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB，

∴13=a2+c2+ac=（a+b）2﹣2ac+ac=16﹣ac，

∴ac=3，∴S△ABC=
acsinB=
×3×
=

19. 解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）=px2﹣（p+q）x+q，

令f'（x）=0，得x=1或x=
．又因为p＞q＞0，故有0＜
．

再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．

再由f'（x）在x=
的左侧为正、右侧为负，故当x=
时，函数f（x）取得极大值．

由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故 a1 =1．

（2）函数y=2px2﹣qx+q﹣f′（x）=px2+px，

点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上，

故有 2Sn =pn2+pn ①，故 2sn﹣1=p（n﹣1）2+p（n﹣1），（n＞1 ） ②．

把①②相减可得 2an=2pn，∴an=pn．

再由a1 =1可得 p=1，故an=n．

综上可得，数列{an}的通项公式为 an=n．

20.解：（Ⅰ）设A（
，0），B（0，
），P（
），由
得，
，即
—————————2分

又因为
，所以
，化简得：
，这就是点P的轨迹方程。 ——————————————————4分

（Ⅱ）当过点（1,0）的直线为
时，

当过点（1,0）的直线不为
时可设为
，A（
，
），B（
，
）联立
并化简得：
，由韦达定理得：
，
，———————6分

所以
—10分

又由
恒成立，所以
，对于上式，当
时，

综上所述
的最大值为
…………………………………………12分

21, 解：（Ⅰ）由题知点
的坐标分别为
，
，于是直线
的斜率为
， 所以直线
的方程为
，即为
．

（Ⅱ）设
两点的坐标分别为
，由
得
，

所以
，
．于是
．

点
到直线
的距离
，所以
.

因为

且
，于是
，所以
的面积
范围是
．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及
，
，得

，
，

于是
，
（
）.所以
．

所以
为定值
．

22. 解：（Ⅰ）
（2分）

当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；

当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；

当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）

（Ⅱ）
得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3

∴
，

∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）

∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2

∴

由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，

所以有：
，∴
（10分）

（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，

由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，

∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，

∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）

∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，

∴

∴

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