沈阳二中2015-2016学年度上学期12月份小班化学习成果

阶段验收 高三（16届）数学试题(理科)

命题人： 高三数学组 审校人：高三数学组

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷 （60分）

选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝ (n≥2)，则xn等于(　　)

A.n-1　　　　　　　B.n　　　　　　　　　C. 　　　　　　D.

3．下列四个结论：

①若
，则
恒成立；

②命题“若
”的逆否命题为“若
”；

③“命题
为真”是“命题
为真”的充分不必要条件；

④命题“
”的否定是“
”.

其中正确结论的个数是 (　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.已知函数
的图像是连续不断的，有如下的
，
的对应表

1

2

3

4

5

6





136.13

15.552

－3.92

10.88

－52.488

－232.064



则函数
存在零点的区间有 (　　)

A．区间
B．区间

C．区间
D．区间

5.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β

C．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β D．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β

6.已知
的值为 （ ）

A．﹣1 B．﹣2 C．
D．2

7 .已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：

x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比有x＋≥n＋1 (n∈N*)，则a等于 ( )

A.n B.2n　　　　　　　C.n2 　　　　　 　D.nn

8.6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有(　　)

A.40种 B.48种　　　　　C.60种 　　　　　D.68种

9.设平面区域D是由双曲线y2﹣
=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则
的取值范围是 （　　）

A．[﹣1，
]　　　 B．[﹣1，1]　　 C．[0，
] 　　　　D．[0，
]

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的

三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （ ）

A.
B.
C.
D.

11.如图，
、
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线的左右两支分别交于点
、
.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为( )

A.4 B.
C.
D.

12. 设函数
在
上存在导数
，
，有
，在
上
，若
，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （90分）

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．

14. 等比数列{an}中，a3=9前三项和为S3=
3x2dx，则公比q的值是________．

15.已知直三棱柱
中，
，侧面
的面积为
，则直三棱柱
外接球表面积的最小值为 ．

16．已知椭圆
（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则
=_____

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2n(n∈N*，n≥2).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Sn.

18．（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，sin Ccos C－cos2 C＝，且c＝3.

(1)求角C；

(2)若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a，b的值.

19．（本小题满分12分）

某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:时).

(1)应收集多少位女生的样本数据?

(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率;

(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附χ2=

P(χ2>k)

0.05

0.010



k

3.841

6.635





20．（本小题满分12分）

如图，边长为
的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=
AB=1，点M在线段EC上．

（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为
．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆M的左、右焦点分别为F1(－，0)、F2(，0)，且抛物线x2＝4y的焦点为椭圆M的顶点，过点P(0,2)的直线l与椭圆M交于不同的两点A、B.

(1)求椭圆M的方程；

(2)求△OAB面积的取值范围；

(3)若S△OAB＝，是否存在大于1的常数m，使得椭圆M上存在点Q，满足＝m(＋)？若存在，试求出m的值；若不存在，试说明理由.

22．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=lnx，g（x）=
+bx（a≠0）

（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；

（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

数学试题答案(理科)

1-----12 BDCCA DDBBA BB

13.12 14. 1或﹣
15.
16.

17.解　(1)∵a1＝2，an＝an－1＋2n(n∈N*，n≥2)，

∴a2－a1＝4，a3－a2＝6，a4－a3＝8，……，an－an－1＝2n，

以上各式相加得an＝a2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)，

当n＝1时，a1＝2也适合上式，

∴an＝n(n＋1)(n∈N*).--------------------------------5分

(2)由(1)得an＝n(n＋1)，

∴＝＝－，

∴Sn＝＋＋…＋

＝＋＋…＋＝.---------------10分

18.解　(1)∵sin Ccos C－cos2 C＝，

∴sin 2C－cos 2C＝1，

即sin＝1，

∵0

(2)∵m与n共线，

∴sin B－2sin A＝0，

由正弦定理＝得b＝2a.①

∵c＝3，由余弦定理得9＝a2＋b2－2abcos，②

联立方程①②得------------------------------12分

19.解:(1)300×
=90,---------------------------------2分

所以应收集90位女生的样本数据.

(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,

所以该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率的估计值为0.75.---4分

(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4时,75人的每周平均体育运动时间不超过4时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:

男生

女生

总计



每周平均体育运动时间不超过4小时

45

30

75



每周平均体育运动时间超过4小时

165

60

225



总计

210

90

300





结合列联表可算得

χ2=

≈4.762>3.841.

所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---12分

20.解答： （Ⅰ）证明：如图，

∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=
，

又∵AD=
，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，则∠ADB=90°，

∴AD⊥BD．

又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，

∴ED⊥面ABCD，则BD⊥ED，

又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD?面BDM，

∴平面BDM⊥平面ADEF；----------------------------------------------4分

（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，

∵AB∥CD，∴DN⊥CD，

又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，

∴以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∴B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，
），N（1，0，0），

设M（x0，y0，z0），由
，得
，

∴x0=0，
，则M（0，λ，
），

设平面BDM的法向量
，则
，∴
，

令x=1，得
．

∵平面ABF的法向量
，

∴
，解得：
．

∴M（0，
），

∴点M的位置在线段CE的三等分点且靠近C处．-------------------------12分

21.解　(1)由题意得抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1).

所以椭圆M的一个顶点为(0,1)，又其焦点为F1(－，0)，F2(，0).

故c＝，b＝1，a＝2.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.--------------2分

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，此时A、B为椭圆M短轴的两个端点，A、B、O三点共线，显然不符合题意.

当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2.

联立方程代入消去y整理得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由一元二次方程根与系数的关系可得，

x1＋x2＝，x1x2＝，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2

＝2－4×

＝[(－16k)2－48(4k2＋1)]＝，

故|x1－x2|＝，

|AB|＝·|x1－x2|＝.

而点O到直线l的距离d＝，

所以△OAB的面积S＝·|AB|·d＝··＝.

设t＝>0，故k2＝，所以S＝＝＝，

因为t>0，所以t＋≥2＝4，

当且仅当t＝，即t＝2时取得等号，此时k2＝，解得k＝±，S取得最大值1.

故△OAB面积的取值范围为(0,1].----------------------------------8分

(3)由(2)可知，△OAB的面积S＝＝，

即5＝4k2＋1，两边平方整理得4k4－23k2＋19＝0，解得k2＝1或k2＝.

设Q(x0，y0)，由＝m(＋)，

解得x0＝m(x1＋x2)＝，

y0＝m(y1＋y2)＝m(kx1＋2＋kx2＋2)＝m[k(x1＋x2)＋4]＝m＝.

故Q，

由点Q在椭圆M上可得＋2＝1，

整理得64k2m2＋16m2＝(4k2＋1)2，

解得m2＝，故m2＝或m2＝.

因为m>1，故m＝.---------------------------------------------12分

所以存在实数m＝，使得椭圆M上存在点Q，满足＝m(＋).

22. 解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．

∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴
对x∈（0，+∞）恒成立，

∴
，∵x＞0，则
．--------------------------------------2分

∴b的取值范围是
．

（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．

∵
．

∴当
，即
时，函数y在[1，2]上为增函数，

当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣
＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣
时，
；

，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，

当t=2时，ymin=4+2b．

综上所述：
----------------------------6分

（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．

则点M、N的横坐标为
．

C1在点M处的切线斜率为
．

C2在点N处的切线斜率为
．

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．

即
．则

=
，

∴
设
，则
，（1）

令
，则
，

∵u＞1，∴r′（u）＞0，

所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，

故r（u）＞r（1）=0，则
，与（1）矛盾！----------------12分

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