福州格致中学2013级高三学段第一学期质量评定

高三年级第五次月考 理科数学试题

命题：周丽君 聂景雯 丁艳平 审核：张晓乐 喻亚琴 程福阳2016.1.22

第I卷 (选择题共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是（ ）

A.y=x－1 B. y=(
)x C. y=x+
D. y=ln(x+1)

2.函数
的最大值为( )

A.9 B.
C.
D.

3.已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,有下面四个命题:

(1)α∥β?l⊥m;(2)α⊥β?l∥m;(3)l∥m?α⊥β;(4)l⊥m?α∥β.

其中正确的命题(　　)

A.(1)(2)　 B.(2)(4) C.(1)(3) D.(3)(4)

4.如图是一个多面体的三视图,则其全面积为

A.
B.
+6 C.
+4 D.
+6

5．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是

A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7?

6. 函数
的最小正周期是

A.
B.
C.
D.

7. 已知a>0，x，y满足约束条件
若z＝2x＋y的最小值为1，则

A. B. C．1 D．2

8．已知圆C：
，若点P（
，
）在圆C外，则直线l:
与圆C的位置关系为

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

9.
的三内角A，B，C所对边长分别是
，设向量
,
，若
，则角
的大小为

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，则不等式组
所确定的平面区域在
内的面积为

A．
B．
C．
D．

11.已知点
为椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点P使得
则此椭圆的离心率的取值范围是

A.(0,
B.(0,
C.(
D.[

12. 对于函数
,若
,
为某一三角形的三条边，则称
为“可构造三角形函数”，已知函数
（
为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.由曲线
，直线
直线
围成的封闭图形的面积为

14.设数列
的前
项和为
，且数列
是首项和公比都是3的等比数列，则
的通项公式
＝

15．
外接圆半径为
，内角A,B,C对应的边分别为
，若A=60°，
，则
的值为

16.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面，
是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（12分） 已知数列
为等比数列，
为等差数列
的前
项和，

(Ⅰ)求
和
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求
.

18. （12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。

（Ⅰ）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；

（Ⅱ）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

19.（12分）如图，在四棱锥
中，
//
，
，
，

，平面
平面
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成的角的正弦值为
，

求二面角
的平面角的余弦值.

20.（12分）设M是焦距为2的椭圆E：
（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－
．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知椭圆E：
（a＞b＞0）上点N（
，
）处切线方程为
， 若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．

21.（12分）已知函数f(x)＝＋ln x在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，
t∈R.

(Ⅰ)求θ的值；

(Ⅱ)当t＝0时，求函数g(x)的单调区间和极大值；

(Ⅲ)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得g(x0)>f(x0)成立，求t的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分,做答时写清题号.

22. (10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，点
是以线段
为直径的圆
上一点，
于点
，过点
作圆
的切线，与
的延长线交于点
，点
是
的中点，连接
并延长与
相交于点
, 延长
与
的延长线相交于点
．

(1)求证：
；

(2)求证：
是圆
的切线．

23. (10分)选修4-4：极坐标系与参数方程

在极坐标系下,已知圆
和直线

(I )求圆
和直线
的直角坐标方程;

（II）当
时,求直线
和圆
公共点的极坐标.

24. (10分) 选修4-5：不等式选讲

已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

(I)求a的值； （II)若
≤k恒成立，求k的取值范围．

理科数学参考答案

一、选择题：1——5 DBCDB； 6——10 CBCBB； 11——12 DD

二、填空题：13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17. (1))
3分 ;
6分

(2)
12分

18．Ⅰ）甲抽奖一次，基本事件总数为
=120,奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.

一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(ξ=240)=

三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;……8,9,10共8种，所以P(ξ=60)=

仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……8，9各有6种。

得奖金30的概率为P（ξ=30）=
奖金为0的概率为P（ξ=0）=

ξ的分布列为：

ξ

0

30

60

240



P












6分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P=
10分

四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数η～B（4，
）故
.12分

19.法一（Ⅰ）取
中点
，连接
，则
，∴四边形
是平行四边形，∴
//
∵直角△
和直角△
中，
∴直角△
直角△
，易知

∴
2分

∵平面
平面
，平面
平面

∴
平面

∴
， 4分

∵
∴
平面
. 5分 ∴平面
平面
. 6分

（Ⅱ）设
交
于
，连接
，则
是直线
与平面
所成的角.设

由△
△
，知
，∵
∴
，

∵∴
，
9分

作
于
，由
，知
平面
，∴
，∴
是二面角
的平面角. 10分

∵△
△
，∴
，而
∴

∴
，∴
，即二面角
的平面角的余弦值为
.12分

法二：（Ⅰ）∵平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面
又∵
，故可如图建立空间直角坐标系
2分

由已知
，
，
，
（
）

∴
，
，

∴
，
，∴
，
，∴
平面
. 4分∴平面
平面
6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），平面
的一个法向量是
，

设直线
与平面
所成的角为
，∴
，

∵
∴
，即
8分

设平面
的一个法向量为

，
，

由

，

∴
，令
，则

10分

∴

，
11分 显然二面角
的平面角是锐角，

∴二面角
的平面角的余弦值为
12分

21. 解：(1)由已知得f ′(x)＝－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，即≥0在[1，＋∞)上恒成立， 2分∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴sin θ·x－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，只需sin θ·1－1≥0，即sin θ≥1，∴sin θ＝1，由θ∈(0，π)，知θ＝. 4分

(2)∵t＝0，∴g(x)＝－－ln x，x∈(0，＋∞)，

∴g′(x)＝－＝， 5分

令g′(x)＝0，则x＝2e－1∈(0，＋∞)，∴x，g′(x)和g(x)的变化情况如下表：

x

(0,2e－1)

2e－1

(2e－1，＋∞)



g′(x)

＋

0

－



g(x)

↗

极大值

↘



即函数的单调递增区间是(0,2e－1)，单调递减区间是(2e－1，＋∞)，极大值是g(2e－1)＝－1－ln(2e－1)．7分

(3)令F(x)＝g(x)－f(x)＝tx－－2ln x，

当t≤0时，由x∈[1，e]有tx－≤0，且－2ln x－<0，∴此时不存在x0∈[1，e]使得g(x0)>f(x0)成立 9分

当t>0时，F ′(x)＝t＋－＝，∵x∈[1，e]，∴2e－2x≥0，又tx2＋t>0，∴F′(x)>0在[1，e]上恒成立，故F(x)在[1，e]上单调递增，∴F(x)max＝F(e)＝te－－4，令te－－4>0，则t> 11分 故所求t的取值范围为. 12分

22.证明：（1） 因为
是圆
的直径，
是圆
的切线，所以
.又因为
，所以
，可知
，
，所以
，所以
.

因为
是
的中点，所以
，所以
是
的中点，
. ………5分

（2）如图，连接
，因为
是圆
的直径，所以

在
中，由（Ⅰ）知
是斜边
的中点，

所以
，所以
.

又因为
，所以
．

因为
是圆
的切线，所以
.

因为
，

所以
是圆
的切线. ………10分

23.解： (1) 圆
:
2分

直线
方程为
5分

(2)极坐标为(1,
) 10分

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/