贵阳六中2016届高三文科数学元月月考试卷

第I卷

一.选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)

A．5 B. C．3 D.

2．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当
时
则f的值为(　　)

A．
B．1 C．
D．5

4．设向量a，b 满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)

A．1 B．2

C．3 D．5

5．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝(　　)

A．18　　　　　　　　　 　B．20

C．22 D．24

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为(　　)

A.　　　　　　　　B. C. D.

7.将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为(　　)

8．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,4) D．(4，＋∞)

9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝(　　)

A．4 B．5

C．6 D．7

10．在平面直角坐标系中，设
为不等式组
所表示区域上的一动点，则
的最小值为(　　)

A．2 B．1 C．
D．

11．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

A.  B  C.  D. 

12．函数
的图像大致为(　　)

第II卷

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

13． 
＋log3＋log3＝________.

14．函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．

15．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．

16．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形．若PA＝2，则△OAB的面积为________．

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值．

18.（本小题满分12分）

某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

P(χ2≥k)

0.100

0.050

0.010

0.001



k

2.706

3.841

6.635

10.828





（注：
）

生产能手

非生产能手

合计



25周岁以上组









25周岁以下组









合计











19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P -ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：

(1) BE∥平面PAD；

(2) 平面BEF⊥平面PCD.

20. （本小题满分12分）

已知函数
（a
R）在
处取得极值.

（1）确定a的值；

（2）若
，讨论
的单调性.

21. （本小题满分12分）

如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且
·
＝1，|
|＝1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分12分）

已知直线
经过点
，倾斜角
，圆
的极坐标方程为

（1）写出圆
的直角坐标方程;

（2）设
与圆
相交于两点
,
，求
,
两点间的距离。

贵阳六中2016届高三文科数学元月月考试卷答案

1-5 ADBAB 6-10 BCCDC 11-12 CD

13． 14．
15． 16．3

17.解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，

得2cos2A＋3cos A－2＝0，

即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，

解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．

因为0

(2)由S＝bcsin A＝ bc·＝bc＝5 ，

得bc＝20，又b＝5，知c＝4.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，

故a＝.

从而由正弦定理得sin B sin C＝sin A·sin A＝sin2A＝×＝.

18.解： (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.

从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

生产能手

非生产能手

合计



25周岁以上组

15

45

60



25周岁以下组

15

25

40



合计

30

70

100



所以得χ2＝＝＝≈1.79.

因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

19．证明： (1)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.

又因为BE
平面PAD，AD
平面PAD，所以BE∥平面PAD.

(2)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD，

由PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA∩AD＝A，

所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.

又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

20．解：（1）

因为
在
处取得极值，所以

即
，得

（2）由（1）得

故

当
时，
或

当
时，即
或
，
为增函数；

当
时，即
或
，
为减函数；

综上可知
在区间
和
上为增函数；在区间
和
上为减函数

21. 解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝1，又∵
·
＝(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1.∴a2＝2，b2＝1，

故椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1.

于是设直线l为y＝x＋m，由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，

x1＋x2＝－m，① x1x2＝.②

∵
·
＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0.

又y＝x＋m，∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0.

将①②代入得2·－(m－1)＋m2－m＝0，

解得m＝－或m＝1，经检验m＝－符合条件．

故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y＝x－.

22.解（1）由
得
,所以

即
，故圆C的直角坐标方程为

（2）直线
的参数方程为
，即
（
为参数）

把
（
为参数）代入
得

设方程
的两根为
，则
，

故

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