沈阳二中2015—2016学年度上学期12月份小班化学习成果

阶段验收 高三（16届）数学(文科)试题

命题人： 石莹 审校人： 石莹

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

第Ⅱ卷 （90分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若全集
Ｒ，集合
｛
｝，
｛
｝，则

（ ）

A．｛
|
或
｝ B．｛
|
或
｝

C．｛
|
或
｝ D．｛
|
或
｝

2. 复数
满足
，则
（ ）

A．
B．2 C．
D．

3. 如图，在△ABC中，已知
则
=( )

A.
B.

C.
D.

4. 设
是定义在
上的周期为3的函数，当
时，

则
=（ ）

5. 给出下列命题：

①若给定命题
：
，使得
，则
：
均有
；

②若
为假命题，则
均为假命题；

③命题“若
，则
”的否命题为“若
则
，

其中正确的命题序号是（ ）

A．① B. ①② C. ①③ D. ②③

6. 已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，则
=( )

A．
B．一
C．
D．一

7. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都

在一个球面上，则该球面的表面积为 ( )

A．
　　 B．
　　

C．
　　 D．

8. 已知函数

的图象上相邻两个最高点的距离为
．若将函数
的图象向左平移
个单位长度后，

所得图象关于
轴对称．则函数
的解析式为( )

A．
B．

C．
　　　　　D．

9. 运行如图所示的程序框图，则输出的

结果是（ ）

A．
B．2

C．5 D．7

10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是

侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直

线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的

曲线是（ ）

A. 椭圆 B. 抛物线

C. 双曲线 D. 圆

11. 右图可能是下列哪个函数的图象

A．
B．

C．
D.

12. 过曲线
的左焦点F作曲线
的切线，设切点为M，延长FM交曲线
于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为

A．
B．
C．
+1 D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）

13. 若
，则
由大到小的关系是 。

14. 设平面区域D是由双曲线y2﹣
=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三

角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则
的最大值是 。

15. 已知
项和，向量
满足
，

则
= 。

16. 设函数
图像上不同两点
处的切线的斜率分别是
，规定
叫做曲线
在点
与点
间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数
图像上两点
与
的横坐标分别为
，则

②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点
、
是抛物线
上不同的两点，则
；

④设曲线
上不同两点
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是
.

以上正确命题的序号为 。

三、解答题：（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分10分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值和最大值；

（Ⅱ）设
的内角
的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值.

18. （本小题满分12分）已知递增的等差数列
的前三项和为6，前三项的积为6。

（Ⅰ）求等差数列
的通项公式；

（Ⅱ）设等差数列
的前
项和为
。记
，求数列
的前
项和
。

19. （本小题满分12分）如图，在长方体
中，
，

为线段
上的动点，

（Ⅰ）当
为
中点时，

求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：无论
在何处，三棱锥

的体积恒为定值；并求出这个定值.

20. （本小题满分12分）已知椭圆
、抛物线
的焦点均在
轴上，
的中心和
的顶点均为原点
，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

3

2

4









0

4





（Ⅰ）求
的标准方程；

（Ⅱ）请问是否存在直线
满足条件：①过
的焦点
；②与
交不同两点
且满足
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由．

21. (本小题满分12分)已知函数
．

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)

时，讨论
的单调性；

(Ⅲ)若对任意的
恒有
成立，求实数
的取值范围．

22. （本小题满分12分）已知椭圆
与双曲线
的离心率互为倒数，且直线
经过椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设不过原点
的直线
与椭圆
交于
两点 ，且直线
、
、
的斜率依次成等比数列，求△
面积的取值范围.

沈阳二中2015—2016学年度上学期12月份小班化学习成果

高三（16届）数学(文科)试题答案

选择题:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

A

C

B

A

C

B

C

C

B

D

D





填空题:

13.
14. 15 15.
16. ②③

解答题:

17.解：（Ⅰ）
（5分）

由已知得

最大值为0，最小值为
……………………5分

（Ⅱ）由
得C=
由余弦定理的

由
，
共线得
，即

……………10分

18.解： (Ⅰ)依题意得
的前三项为
，则

……………………6分

(Ⅱ)

………8分

……12分

19. 证明：（Ⅰ） 在长方体
中，
平面

又
平面
∴
…………………2分

∵

四边形
为正方形，

且
为对角线
的中点，∴
…………4分

又∵


，

平面

平面

∴
平面
　……………6分

（Ⅱ）在长方体
中，

，

∵
，
为线段
上的点 　

∴三角形
的面积为定值

即
………8分

又∵
，
平面
，
平面
　

∴
平面
∴点
到平面
的距离
为定值

由(Ⅰ)知：
为
的中点时，
平面
，即
　………10分

∴三棱锥
的体积为定值，即
　

也即无论
在线段
上的何处，三棱锥
的体积恒为定值
　………12分

20. 解：（Ⅰ）设抛物线
，则有
，据此验证
个点

知 （3，
）、（4， 4）在抛物线上，易求
………………2分

设
：
，把点（2，0）（
，
）代入得：

解得
∴
方程为
……………………5分

（Ⅱ）容易验证直线
的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分

当直线
斜率存在时，假设存在直线
过抛物线焦点
，设其方程为
，

与
的交点坐标为

由
消掉
，得
， …………8分

于是
，
①

即
② …………………………10分

由
，即
，得

将①、②代入（*）式，得
，解得
；

所以存在直线
满足条件，且
的方程为：
或
．………12分

21. (Ⅰ)函数
的定义域为
．
，令
，

得
；
（舍去）． …………2分

当
变化时，
的取值情况如下：











—

0







减

极小值

增



 所以，函数
的极小值为
，无极大值． …………4分

(Ⅱ)
，令
，得
，
，

当
时，
，函数
的在定义域
单调递增； …………5分

当
时，在区间
，
，上